Dobbeltvinklet trigonometriske identiteter:Forenkle sinus, cosinus og tangens hurtigt

demaerre/iStock/GettyImages

Når du dykker ned i trigonometri eller calculus, vil du støde på funktioner som sinus, cosinus og tangens. At gætte værdien af ​​en trigonometrisk ligning med et diagram eller en lommeregner kan være kedeligt eller endda umuligt. Det er derfor, at trigonometriske identiteter – korte, dokumenterede sammenhænge – er afgørende for at forenkle og løse disse ligninger.

TL;DR

Dobbeltvinkelidentiteter lader dig udtrykke sin(2θ), cos(2θ) og tan(2θ) i form af enkeltvinkelfunktioner. De er en delmængde af de mere generelle sum- og differensformler.

Dobbeltvinkelidentiteter for sinus

Der findes to tilsvarende former:

\\(\\sin(2\\theta)=2\\sin(\\theta)\\cos(\\theta)\\)

\\(\\sin(2\\theta)=\\frac{2\\tan(\\theta)}{1+\\tan^2(\\theta)}\\)

Dobbeltvinkelidentiteter for Cosinus

Cosinus kan skrives på flere nyttige måder:

\\(\\cos(2\\theta)=\\cos^2(\\theta)-\\sin^2(\\theta)\\)

\\(\\cos(2\\theta)=2\\cos^2(\\theta)-1\\)

\\(\\cos(2\\theta)=1-2\\sin^2(\\theta)\\)

\\(\\cos(2\\theta)=\\frac{1-\\tan^2(\\theta)}{1+\\tan^2(\\theta)}\\)

Dobbeltvinkelidentitet for Tangent

Der bruges kun én praktisk formular:

\\(\\tan(2\\theta)=\\frac{2\\tan(\\theta)}{1-\\tan^2(\\theta)}\\)

Sådan bruges dobbeltvinklede identiteter

Disse identiteter er uvurderlige, når du skal omskrive et trigonometrisk udtryk, så der kun er én type funktion tilbage. Vinkelsymbolet kan være et hvilket som helst bogstav – θ, α, x eller β – fordi identiteten gælder for alle vinkler.

Eksempel 1

Omskriv cos2x+sin2x bruger kun sinx og cosx:

\\(\\cos(2x)+\\sin(2x)=\\bigl(2\\cos^2(x)-1\\bigr)+\\bigl(2\\sin(x)\\cos(x)\\bigr)\\)

\\(\\quad=2\\cos(x)\\bigl(\\cos(x)+\\sin(x)\\bigr)-1\\)

Eksempel 2

1. Forenkle 2cos²32–1 :

\\(2\\cos^2(32)-1=\\cos(2\\times32)=\\cos(64)\\)

2. Forenkle 2sinαcosα hvor α=β⁄2 :

\\(2\\sin(α)\\cos(α)=\\sin(2\\alpha)=\\sin(\\beta)\\)