Delta (Δ/δ):En omfattende guide til dens matematiske betydninger

Af Sean Mullin
14. april 2023 kl. 16.10 EST

Det græske bogstav delta, det fjerde bogstav i det antikke græske alfabet, er blevet et alsidigt symbol i moderne matematik, naturvidenskab og teknik. Dens store bogstaver (Δ) og små bogstaver (δ) formidler forskellige begreber, der spænder fra forandring og usikkerhed til diskriminanter og vinkler. Denne artikel udpakker hver brug og illustrerer, hvordan delta former sproget for kvantitativ ræsonnement.

Δ – Ændring og variationshastigheder

I algebra, calculus, fysik, kemi og teknik bruges store bogstaver Δ konventionelt til at betegne en ændring i en variabel. For eksempel, hvis x repræsenterer positionen af et objekt, Δx refererer til forskydningen over et givet interval. Når parret med tiden, Δx betyder ofte en ændringshastighed:

\(\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}=\frac{\Delta x}{\Delta y}\)

TL;DR

Δ kan gælde for enhver variabel—Δy , Δq , Δt —afhængig af hvad der måles.

δ – Usikkerheds- og fejlanalyse

I eksperimentel videnskab og teknik repræsenterer små bogstaver δ usikkerheden eller målefejlen forbundet med en mængde. Den er typisk vedhæftet den variabel, der måles:

\(\text{Tidsmål } =t \ \pm \ \delta t\)

Δ – Diskriminant i andengradsligninger

I algebra er Δ diskriminanten af et kvadratisk polynomium ax² + bx + c:

\(\Delta =b^2-4ac\)

Diskriminanten bestemmer røddernes natur:to distinkte reelle rødder, når Δ>0, en gentaget reel rod, når Δ=0, og to komplekse konjugerede rødder, når Δ<0.

δ – Vinkler i geometri

I euklidisk geometri betegner små bogstaver δ ofte en vinkel i en figur, efter traditionen med at mærke vinkler med græske bogstaver. Valget af symbol indebærer ikke en bestemt foranstaltning; det identificerer blot vinklens position.

Avanceret anvendelse af δ

Ud over det grundlæggende optræder δ i flere specialiserede sammenhænge:

• Kronecker delta (δ_ij ) :Er lig med 1, når indeks i og j er lige, og 0 ellers.
• Dirac delta-funktion (δ(x)) :En fordeling, der er nul overalt undtagen ved x=0, hvor den integreres til 1.
• Grænsedefinition i calculus :ε‑δ-formalismen til strengt at definere grænser.
• Afvisning (δ) :I astronomi er vinklen mellem et objekts position og den himmelske ækvator.

Lignende symboler og almindelige forvekslinger

Delta kan forveksles med andre symboler, der ligner hinanden:

• Del eller nabla (∇) :En omvendt Δ, der bruges i vektorregning til at angive gradient-, divergens- og krølleoperationer.
• Delvis afledt (∂) :Ligner et lille δ, men repræsenterer differentiering i forhold til en enkelt variabel i en multivariabel funktion.

TL;DR

Den partielle afledede operator ∂ fungerer som en standardafledt, men anvendes på funktioner af flere variable, idet alle andre variable holdes konstante.