Bestemmelse af et plan ud fra tre punkter:En trin-for-trin vektormetode

Af Chirantan Basu | Opdateret 30. august 2022

Ligningen for et plan i tredimensionelt rum kan udtrykkes som ax + by + cz = d , hvor mindst en af konstanterne a , b eller c er ikke-nul. Når tre punkter er kendt, kan planet udledes ved hjælp af vektorkrydsprodukter, en pålidelig geometrisk teknik, der garanterer en nøjagtig løsning.

Trin 1 – Identificer de tre punkter

Mærk punkterne A, B og C. Lad A = (3, 1, 1), B = (1, 4, 2) og C = (1, 3, 4) til illustration.

Trin 2 – Form to vektorer på flyet

Vælg hvilke som helst to vektorer, der ligger på planet. Et praktisk valg er AB og AC :

• AB  = B – A = (1–3, 4–1, 2–1) = (–2, 3, 1)
• AC  = C – A = (1–3, 3–1, 4–1) = (–2, 2, 3)

Trin 3 – Beregn den normale vektor via krydsprodukt

Krydsproduktet af AB og AC giver en vektor normal på planet:

AB × AC = (a₂b₃ – a₃b₂, a₃b₁ – a₁b₃, a₁b₂ – a₂b₁)

Udskiftning af koordinaterne giver:

AB × AC = (3·3 – 1·2, 1·(–2) – (–2)·3, (–2)·2 – 3·(–2)) = (7, 4, 2)

Den normale vektor N er (7, 4, 2) .

Trin 4 – Skriv planligningen

Ved at bruge punkt C (eller et hvilket som helst kendt punkt) og normalvektoren er planligningen:

7(x – 1) + 4(y – 3) + 2(z – 4) = 0

Udvidelse og forenkling giver standardformularen:

7x + 4y + 2z = 27

Trin 5 – Bekræft resultatet

Erstat hvert af de oprindelige punkter i ligningen for at bekræfte, at de opfylder det. Alle tre punkter opfylder 7x + 4y + 2z = 27 , validerer beregningen.

TL;DR

Brug vektorkrydsprodukter til at finde et flys normale vektor, og sæt derefter ethvert punkt ind i prik-produktformen for at få flyets ligning.