Forståelse af begrænset og ubegrænset i matematik:definitioner, funktioner, operatorer og sæt

Af Jacob Reis | Opdateret 30. august 2022

ClaudeLux/iStock/Getty Images

Afgrænset vs. Ubegrænset i matematik

I matematik er begreberne grænset og ubegrænset vises på tværs af forskellige underfelter. At forstå deres præcise betydninger hjælper med at undgå forvirring, især når de anvendes på funktioner, operatorer og sæt.

Afgrænsede funktioner

En afgrænset funktion er en, hvis rækkevidde ligger mellem to endelige grænser. I en graf betyder det, at funktionens værdier kan fanges af to vandrette linjer. For eksempel svinger sinusfunktionen mellem –1 og 1, så den er afgrænset. Matematisk er en funktion f defineret på et sæt X (med reelle eller komplekse værdier) afgrænset, hvis der findes M > 0, således at |f(x)| ≤ M for hver x ∈ X.

Ubundne funktioner

Omvendt en ubegrænset funktion har ingen sådanne endelige øvre eller nedre grænser; dens værdier kan vokse vilkårligt store (eller små). Funktioner som f(x) = 1/x (defineret for x ≠ 0) eller f(x) = x² er ubegrænsede på deres respektive domæner.

Bounded Operators

I funktionsanalyse, operatører handle på elementer i et vektorrum. En operator A kaldes grænset hvis der findes en konstant C sådan ‖A(x)‖ ≤ C‖x‖ for alle x i dets domæne. Hvis der ikke findes en sådan konstant, er operatoren ubegrænset . Ifølge Encyclopaedia of Mathematics , kortlægger en ubegrænset operator et afgrænset sæt i sit domæne til et ubegrænset sæt i dets codomæne.

Afgrænsede sæt

Et sæt tal er afgrænset når den har både en øvre og en nedre endelig grænse. Klassiske eksempler omfatter intervallet [2, 401) og rækkefølgen {1,½,⅓,¼,…}. En ubegrænset sæt mangler mindst en af disse endelige grænser; for eksempel er sættet af alle positive heltal ℕ ubegrænset, fordi det ikke har nogen endelig øvre grænse.

Vigtige ting

• Afgrænsede objekter forbliver inden for begrænsede grænser; ubundne objekter gør det ikke.
• Definitionen afhænger af kontekst:funktioner, operatorer eller sæt.
• I praksis skal du kontrollere for et endeligt supremum og et infimum for at bestemme afgrænsning.