Der er kun 15 mulige femkantede fliser, forskning beviser

At flisebelægge flyet med et enkelt mønster er et matematisk problem, der har interesseret mennesker siden antikken, især for den æstetiske kvalitet af fliser i mosaik eller flisebelægning. Et af de uløste problemer på dette område, der har forvirret det videnskabelige samfund siden 1918, er nu blevet endeligt løst takket være Michaël Rao fra Laboratoire d'informatique du parallélisme (CNRS/Inria/ENS de Lyon/Université Claude Bernard Lyon 1). Ved hjælp af computerværktøjer kunne han demonstrere, at der kun er 15 femsidige mønstre, der kan flise flyet. Forskningen er nu tilgængelig på Arxiv internet side.

Der er en række løsninger til at dække et gulv med en enkelt form, såsom trekanter, firkanter, rektangler, sekskanter, osv. Den udtømmende søgen efter alle de konvekse former, der kan flisebelægge planet - en form med vinkler mindre end 180°, der kan dække en hel væg uden at overlappe - blev indledt af Karl Reinhardt under sit speciale i 1918. Han viste, at alle trekanter og firkanter kan flise flyet, men at der kun var 3 typer sekskanter, der kunne gøre det, og at en polygon med syv sider eller flere ikke kunne gøre det. Kun spørgsmålet om femkanter forblev åbent.

15 typer af femkanter blev opdaget fra 1918 til 2015 som en del af enestående forskning:initieret af Reinhardt i 1918, den gik igennem en række drejninger, såsom nye opdagelser af amatørmatematikere, op til den formidlede udmelding i 2015 af en ny 15. form 30 år efter den 14. Alligevel var det videnskabelige samfund stadig ikke i stand til at afgøre, om der var andre former for femkanter, der kunne flisebelægge flyet.

Michael Rao, en CNRS-forsker ved Laboratoire d'informatique du parallélisme (CNRS/Inria/ENS Lyon/Université Claude Bernard Lyon 1), har nu endegyldigt vist, at der kun er en begrænset række af familier af femkanter, der skal tages i betragtning. Rao brugte et softwareprogram til at generere alle mulighederne, og viste, at 371 familier af femkanter potentielt kunne flisebelægge flyet. Han testede derefter hver af disse familier ved hjælp af et andet program, og demonstrerede, at kun 19 typer femkanter opfyldte betingelserne for vinkler og sidelængder, der kræves for at flisebelægge planet. Blandt disse 19 typer, 15 svarede til allerede kendte typer, og de fire andre viste sig at være særlige tilfælde af disse 15 typer. Følgelig, kun 15 typer fliser kan flise flyet.

Rao var i stand til at løse et århundrede gammelt problem med sin metode, og åbne nye perspektiver. Alle disse konvekse fliser kan fliselægge flyet med jævne mellemrum (dvs. fliserne gentages uendeligt). Alligevel vides det endnu ikke, om der er en flise, der giver mulighed for ikke-periodisk fliselægning. Heldigvis kan de fleste af disse teknikker også bruges til ikke-konvekse polygoner, og kunne således tjene som grundlag for at løse et andet problem inden for flisebelægning, bedre kendt som "Einstein-problemet" (fra det tyske "ein stein").