Matematikere opnår nye grundlæggende resultater i funktionelle uligheder

Inviteret professor ved RUDN University Durvudkhan Suragan og et team af kolleger har opnået og etableret nye typer funktionelle uligheder. Hardys uligheder er en vigtig type problemløsning i matematisk fysik. Resultaterne af undersøgelsen blev offentliggjort i Fremskridt i matematik .

Egenskaberne ved de såkaldte Hardys uligheder er blevet undersøgt af matematikere over hele verden i omkring et århundrede. De er relationer af en bestemt type for serier og integraler. Hardys uligheder studeres i funktionsanalyse og bruges som et hjælpeinstrument inden for mange områder af matematik og mekanik, såvel som i teorien om degenererede differentialligninger (i partielle derivater af elliptisk type), spektrum teori, ikke-lineær analyse og interpolationsteori.

De fleste undersøgelser, der dækker Hardys uligheder og deres analoger, er udført i euklidiske vektorrum. Fra højere matematiks synspunkt, et euklidisk rum er et sæt vilkårlige elementer, hvorpå der gives en prikproduktoperation. To- og tredimensionelle rum er særlige tilfælde af euklidiske rum. Et hold fra RUDN udvidede teorien om uligheder af Hardy-typen og studerede dem i form af mere komplicerede matematiske objekter - homogene topologiske grupper.

Et sæt af elementer kaldes en topologisk gruppe, hvis det er et topologisk rum og en gruppe på samme tid, og operationerne af produkt- og omvendt elementafledning er kontinuerlige. Et system af delmængder (topologi) af særlige egenskaber findes i et topologisk rum. Udover selve delmængderne, topologi inkluderer deres aggregater bestående af et vilkårligt antal element, samt skæringspunkter (kun de endelige), og ugyldige sæt. Tilstedeværelsen af ​​en gruppestruktur betyder, at der gives en associativ algebraisk operation for mængden, den indeholder den såkaldte "en-figur" (den der har egenskaberne 1 ved multiplikation), og alle elementer har omvendte.

Eksisterende metoder til at etablere funktionelle uligheder i homogene topologiske grupper er baseret på at studere normers egenskaber. En norm i matematik er en ikke-negativ sammensat funktion, der opfylder visse krav. Talmodul og vektorlængde er simple eksempler på normer. Nye metoder foreslået af forfatterne af undersøgelsen gør det muligt at arbejde med tilfældige normer, ikke strengt bestemte og faste sammensatte funktioner, der blev brugt før.

Resultatet af teamets arbejde var opnåelse og etablering af nye typer af Hardys uligheder i homogene grupper. Særlig opmærksomhed blev givet til analyse i Abelske grupper. Abelianness (eller kommutativitet) udtrykkes i uafhængigheden af ​​en gruppeoperation, der er resultatet af elementernes rækkefølge. Et specifikt tilfælde af kommutativitet er den velkendte regel "at permutere summanderne af en sum ændrer ikke værdien af ​​summen." Forskere påpeger, at de nyligt opnåede uligheder kan bruges i den ikke-lineære differentialligningsteori.

Resultaterne af undersøgelsen er hovedsageligt teoretiske og grundlæggende. Eksisterende resultater af ulighedsanalyse af Hardy-typen er blevet genovervejet og udvidet til nye klasser af matematiske objekter. Derfor, yderligere ukendte anvendelser for disse uligheder kan blive opdaget.