Matematisk model afslører løsningen på skvulpende kaffe

Amerikanerne drikker i gennemsnit 3,1 kopper kaffe om dagen; for mange mennesker, den populære drik er en morgen nødvendighed. Når du bærer en væske, sund fornuft siger, at man skal gå langsomt og undlade at overfylde beholderen. Men når pendlere skynder sig ud af døren med kaffe i hånden, chancerne er, at deres hastværk får noget af den varme væske til at skvulpe ud af koppen. De resulterende spild, roder, og milde forbrændinger modvirker uden tvivl kaffens velsmagende fordele.

Slossing opstår, når en beholder med væske—kaffe i et krus, vand i en spand, flydende naturgas i et tankskib, osv. - svinger vandret omkring en fast position nær en resonansfrekvens; denne bevægelse opstår, når containerne bæres eller flyttes. Mens næsten alle transportcontainere har stive håndtag, en spand med et drejeligt håndtag tillader rotation omkring en central akse og reducerer risikoen for spild betydeligt. Selvom dette ikke nødvendigvis er en realistisk on-the-go løsning for de fleste drikkevarer, afbødning eller eliminering af skvulp er bestemt ønskelig. I en nylig artikel offentliggjort i SIAM anmeldelse , Hilary og John Ockendon bruger overraskende simpel matematik til at udvikle en model for sloshing. Deres model består af et krus på et glat vandret bord, der svinger i en enkelt retning via en fjederforbindelse. "Vi valgte den matematisk enkleste model til at forstå den grundlæggende mekanik af pendulhandling på skvulpproblemer, " sagde J. Ockendon.

Forfatterne henter deres inspiration fra et Ig Nobel-prisvindende papir, der beskriver en grundlæggende mekanisk model, der undersøger resultaterne af at gå baglæns, mens de bærer en kop kaffe. De bruger både Newtons fysiklove og hydrodynamikkens grundlæggende egenskaber til at anvende en såkaldt "paradigme"-konfiguration, som forklarer, hvordan en vugge introducerer en ekstra grad af frihed, der igen modificerer væskens reaktion. "Paradigmemodellen indeholder den samme mekanik som pendulet, men er lettere at skrive ned, " sagde Ockendon. "Vi fandt nogle eksperimentelle resultater på paradigmemodellen, hvilket betød, at vi kunne lave nogle direkte sammenligninger."

Forfatterne vurderer dette scenario frem for den mere realistiske, men komplicerede brug af et krus som en vugge, der bevæger sig som et simpelt pendul. For yderligere at forenkle deres model, de antager, at det pågældende krus er rektangulært og engageret i todimensionel bevægelse, dvs. bevægelse vinkelret på retningen af ​​fjederens virkning er fraværende. Fordi kaffen i første omgang hviler, strømmen er altid irrotationel. "Vores model overvejer skvulp i en tank, der er ophængt i et drejetap, der svinger vandret med en frekvens tæt på den laveste skvulpfrekvens af væsken i tanken, " sagde Ockendon. "Sammen har vi skrevet adskillige artikler om klassisk slashing i løbet af de sidste 40 år, men først for nylig blev vi stimuleret af disse observationer til at overveje penduleffekten."

Variabler i den oprindelige model repræsenterer (i) en hånd, der bevæger sig rundt i en fast position, (ii) hyppigheden af ​​gang, typisk mellem 1-2 Hertz, og (iii) en fjeder, der forbinder den rystende hånd med kruset, som glider på bordets glatte overflade. Ockendon og Ockendon er mest interesserede i forårets effekt på væskens bevægelse.

Forfatterne løser modellens ligninger via adskillelse af variable og analyserer det efterfølgende resultat med et responsdiagram, der afbilder sloshing-amplitudens afhængighed af forceringsfrekvens. Krusets randbetingelser forudsætter, at den normale hastighed af både væsken og kruset er den samme, og at oscillationens amplitude er lille. Ockendon og Ockendon lineariserer grænsebetingelserne for at undgå at løse et ikke-lineært frit grænseproblem uden nogen eksplicit løsning. De registrerer bevægelsesligningen for beholderen for at koble væskens bevægelse og fjederen. I dette tilfælde, fjederens spænding og trykket på beholderens vægge er de virkende vandrette kræfter.

Forfatterne opdager, at at inkludere en snor eller et pendul mellem beholderen og den bærende hånd (tvingningsmekanismen) mindsker stivheden og reducerer dramatisk den laveste resonansfrekvens, dermed aftagende skvulp for næsten alle frekvenser. "Vores model viser, at sammenlignet med en ikke drejelig tank, amplituden af ​​den laveste resonansrespons vil blive væsentligt reduceret, forudsat at længden af ​​pendulet er større end længden af ​​tanken, " sagde Ockendon.

Afslutningsvis, Ockendon og Ockendon bruger forenklet modellering og analyse til at forklare et almindeligt fænomen, som næsten alle oplever. De foreslår, at fremtidige analytikere undersøger skvulp i et cylindrisk snarere end et rektangulært krus, eller med lodrette snarere end vandrette svingninger, da begge disse faktorer komplicerer modellen. Man kunne også undersøge fjederhandlingens effekt på systemets ikke-lineære adfærd nær resonans. Ultimativt, forskere kan bruge grundlæggende ideer fra denne undersøgelse til at overveje den ikke-lineære reaktion af lavt vand, der skvulper, som har en række applikationer fra den virkelige verden.