Matematiker bruger dynamiske ideer til indsigt i et rums geometri

Steven Frankel er ikke sulten. Han vil bare tale om nudler.

Frankel forestiller sig en stor skål nudler - og om, og når, nudlerne kan sløjfe tilbage på sig selv - uendeligt ekstruderet, som de kunne være, fra en slags kosmisk pastamaskine.

Nudlerne er en forenklet måde for Frankel, assisterende professor i matematik i kunst og videnskab ved Washington University i St. Louis, at beskrive en forbindelse mellem et rums geometri og dynamikken i det rum – hvordan rummet ændrer sig over tid. Det er alt sammen en del af hans første solo-forfattede artikel i det førende tidsskrift inden for hans felt, det Annals of Mathematics .

Geometrister og dynamikere har en tendens til at danne to separate lejre i matematik, men Frankel foretrækker at tænke på disse ting i kombination. Og han er ikke alene. I juni 2018, han rejste til Shenzhen, Kina, at præsentere noget af sit arbejde som en del af den internationale konference om dynamiske systemer.

"Du kan bruge nogle af de dynamiske ideer til at få lidt indsigt i et rums geometri, " sagde Frankel. "Det giver dig en måde at bryde et tredimensionelt rum op i endimensionelle tråde. Og du kan håbe, at hvis du kan forstå disse endimensionelle tråde, så forstår du også, hvordan de passer sammen - for at få lidt indsigt i dit rum."

Forestil dig et flow som et lavt lag væske i bevægelse. Hvis du kunne identificere et enkelt molekyle i det flow, og spore, hvordan den bevæger sig over tid, du kan forestille dig at bygge et slags kort, der viser, hvor punktet gik hen og hvornår.

Hvis i stedet for at bevæge sig på overfladen af ​​et ark, strømmen bevægede sig hen over et tredimensionelt rum med forskellige geometriske egenskaber, du kan stadig bygge et kort over et punkts placering over tid. Men kortet ville se anderledes ud:Rummet ville blive fyldt op med tråde eller kurver, der repræsenterer stierne for hvert punkt - de nudler igen.

Frankels nye papir, Grov hyperbolicitet og lukkede baner for kvasigeodetiske strømme, beviser en formodning om Danny Calegari, matematikeren fra University of Chicago, som var Frankels tidligere rådgiver og mentor. Calegari forudsagde, at disse strømme ville have lukkede baner – hvilket betyder, at nogle af dem nødvendigvis ville strømme tilbage til, hvor de startede; Frankel gjorde det tunge løft for at bevise, at det var sandt.

"Der er et forhold mellem disse dynamiske fænomener, der opstår - de stationære punkter og de tilbagevendende punkter, for eksempel - og den store struktur af det underliggende rum, som denne dynamiske struktur er repræsenteret af, " sagde Frankel.

Frankel startede som ingeniør som bachelor hos Cooper Union, men fandt hurtigt sin lidenskab i ren matematik. Han afsluttede sin ph.d. ved University of Cambridge i 2013, efter at have fulgt Calegari til Storbritannien fra California Institute of Technology i 2011. Frankel underviste derefter i matematik på Yale University i fire år.

Han underviste sin første klasse på Washington University i efteråret 2017.

"Hver elev var fantastisk, " sagde Frankel, om de studerende i den øverste afdeling i grafteori. "Ikke alle var superstjerner. Men, til sidst, alle var trygge ved at stille spørgsmål midt i timen – og afbryde mig, når de troede, jeg tog fejl.

"De var virkelig engagerede i at lære, " sagde Frankel. "Jeg kan ikke overdrive, hvor vigtigt det er.

"Der er en myte om, at at lære matematik handler om at huske en masse sætninger og lære at sætte dem sammen, " sagde han. "Den bedste måde at lære på er at have et spørgsmål i tankerne - og at stikke i det, og prøv selv at svare på det. Og det kræver et engagement fra elevens side, som man ikke finder alle vegne."

Hvilket bringer os tilbage til pastaen, og de vigtigste resultater fra hans papir.

"Det er den dummeste, men stadig nøjagtige måde at sige, hvad dette papir siger, " sagde Frankel. "Hvis du har en skål, og den er fyldt med nudler, der ikke samler sig for meget, så skal nogle af de nudler danne løkker."

Men er nudlerne linguine? Eller rigatoni?

Frankel får dig ikke til at føle dig dum for at spørge. (Svaret:linguine)

"Sagen med matematik er, at der ikke er nogen åbenlyse spørgsmål, " sagde Frankel. "I matematik, der er ingen åbenlyse spørgsmål, fordi du ikke har at gøre med genstande, der er lige foran dig."

Han er hurtig til at påpege indflydelsen fra tidligere generationer, og også det nuværende arbejde af mennesker omkring ham i en afdeling.

"Matematik er en samfundsaktivitet, ikke en individuel, " sagde Frankel. "Jeg kan ikke bare sige til mig selv at sidde på det sæde og tænke. Jeg kan ikke instruere mig selv til at finde på noget interessant ud af det blå.

"Af en eller anden grund, det er bare sådan, vores sind fungerer. Du skal være styret af noget. De spørgsmål eller formodninger, du finder i matematik – de kan være interessante i sig selv, de kan være interessante på grund af, hvor de fører dig hen, " sagde han. "Det er lige så meget - hvis ikke vigtigere - at finde de rigtige spørgsmål at stille, som det er at kunne besvare de spørgsmål."