Sådan bestemmes om, hvorvidt relationen er en funktion

I matematik er en funktion en regel, der relaterer hvert element i ét sæt, kaldet domænet, til nøjagtigt et element i et andet sæt kaldet rækkevidden. På en x-y-akse er domænet repræsenteret på x-aksen (vandret akse) og domænet på y-aksen (lodret akse). En regel, der vedrører et element i domænet til mere end et element i området, er ikke en funktion. Dette krav betyder, at hvis du graver en funktion, kan du ikke finde en lodret linje, der krydser grafen på mere end et sted.

TL; DR (for lang tid, ikke læst)

En relation er kun en funktion, hvis den relaterer hvert element i sit domæne til kun et element i rækken. Når du graver en funktion, skærer en lodret linje det på kun et punkt.

Matematisk repræsentation

Matematikere repræsenterer normalt funktioner med bogstaverne "f (x)", selv om andre breve virker lige så godt. Du læser bogstaverne som "f of x." Hvis du vælger at repræsentere funktionen som g (y), ville du læse den som "g af y." I ligningen for funktionen defineres den regel, hvorved inputværdien x omdannes til et andet nummer. Der er et uendeligt antal måder at gøre dette på. Her er tre eksempler:

f (x) = 2x

g (y) = y ^{2 + 2y + 1}

p (m) = 1 /√ (m - 3)

Bestemmelse af domænet

Sættet af tal for hvilke funktionen "virker" er domænet. Dette kan være alle tal, eller det kan være et bestemt sæt tal. Domænet kan også være alle tal undtagen en eller to, for hvilke funktionen ikke virker. F.eks. Er domænet for funktionen f (x) = 1 /(2-x) alle tal undtagen 2, fordi når du indtaster to, er nævneren 0, og resultatet er udefineret. Domænet for 1 /(4 - x ^{2) er derimod alle tal undtagen +2 og -2, fordi kvadratet af begge disse tal er 4.}

Du kan også identificere domænet for en funktion ved at se på dens graf. Starte helt til venstre og bevægelse til højre trækker du lodrette linjer gennem x-aksen. Domænet er alle værdierne for x, for hvilken linjen krydser grafen.

Hvornår er et forhold ikke en funktion?

En funktion relaterer pr. Definition hvert element i domænet til kun en element i området. Dette betyder, at hver lodret linje, du trækker gennem x-aksen, kan krydse funktionen på kun ét punkt. Dette virker for alle lineære ligninger og højere kraft ligninger, hvor kun x-termen hæves til en eksponent. Det virker ikke altid for ligninger, hvor både x- og y-termerne hæves til en strøm. For eksempel definerer x ^{2 + y 2 = a 2 en cirkel. En lodret linje kan krydse en cirkel på mere end et punkt, så denne ligning er ikke en funktion.}

Generelt er et forhold f (x) = y kun en funktion, hvis for hver værdi af x det du plugger ind i det, du får kun en værdi for y. Nogle gange kan den eneste måde at fortælle om et givet forhold er en funktion eller ej, er at prøve forskellige værdier for x for at se om de giver unikke værdier for y.

Eksempler: Definerer følgende ligninger funktioner?

y = 2x +1 Dette er ligningen for en lige linje med hældning 2 og y-afsnit 1, så det er en funktion.

y2 = x + 1 Lad x = 3. Værdien for y kan da være ± 2, så dette er IKKE en funktion.

y ^{3 = x 2 Uanset hvilken værdi vi sætter for x, får vi kun en værdi for y, så dette er en funktion.}

y ^{2 = x 2 Fordi y = ± √x 2, er dette IKKE en funktion.}