Matematikere genopliver den forladte tilgang til Riemann-hypotesen

Mange måder at nærme sig Riemann-hypotesen på er blevet foreslået i løbet af de sidste 150 år, men ingen af ​​dem har ført til at erobre det mest berømte åbne problem i matematik. Et nyt papir i Procedurer fra National Academy of Sciences ( PNAS ) antyder, at en af ​​disse gamle tilgange er mere praktisk end tidligere indset.

"I et overraskende kort bevis, vi har vist, at en gammel, den forladte tilgang til Riemann-hypotesen burde ikke være blevet glemt, " siger Ken Ono, talteoretiker ved Emory University og medforfatter til papiret. "Ved blot at formulere en ordentlig ramme for en gammel tilgang har vi bevist nogle nye teoremer, herunder en stor del af et kriterium, som indebærer Riemann-hypotesen. Og vores generelle rammer åbner også tilgange til andre grundlæggende ubesvarede spørgsmål."

Avisen bygger på arbejdet af Johan Jensen og George Pólya, to af det 20. århundredes vigtigste matematikere. Den afslører en metode til at beregne Jensen-Pólya polynomier - en formulering af Riemann-hypotesen - ikke én ad gangen, men på én gang.

"Det smukke ved vores bevis er dets enkelhed, " siger Ono. "Vi opfinder ikke nogen nye teknikker eller bruger nye objekter i matematik, men vi giver et nyt syn på Riemann-hypotesen. Enhver rimelig avanceret matematiker kan tjekke vores bevis. Det kræver ikke en ekspert i talteori."

Selvom papiret mangler at bevise Riemann-hypotesen, dens konsekvenser omfatter tidligere åbne påstande, som vides at følge af Riemann-hypotesen, samt nogle beviser på formodninger på andre områder.

Medforfattere til papiret er Michael Griffin og Larry Rolen - to af Onos tidligere Emory-kandidatstuderende, som nu er på fakultetet ved Brigham Young University og Vanderbilt University, henholdsvis – og Don Zagier fra Max Planck Institute of Mathematics.

"Det resultat, der er etableret her, kan ses som et yderligere bevis for Riemann-hypotesen, og under alle omstændigheder det er et smukt selvstændigt teorem, " siger Kannan Soundararajan, en matematiker ved Stanford University og en ekspert i Riemann-hypotesen.

Idéen til avisen blev udløst for to år siden af ​​et "legetøjsproblem", som Ono præsenterede som en "gave" for at underholde Zagier under optakten til en matematikkonference, der fejrede hans 65-års fødselsdag. Et legetøjsproblem er en nedskaleret version af en større, mere kompliceret problem, som matematikere forsøger at løse.

Zagier beskrev den, som Ono gav ham, som "et sødt problem om den asymptotiske adfærd af visse polynomier, der involverer Eulers partitionsfunktion, som er en gammel kærlighed hos mig og Ken - og til stort set enhver klassisk talteoretiker."

"Jeg fandt problemet uløseligt, og jeg forventede egentlig ikke, at Don ville komme nogen vegne med det, " husker Ono. "Men han syntes, at udfordringen var super sjov, og snart havde han lavet en løsning."

Onos anelse var, at en sådan løsning kunne udformes til en mere generel teori. Det er, hvad matematikerne i sidste ende opnåede.

"Det har været et sjovt projekt at arbejde på, en virkelig kreativ proces, " siger Griffin. "Matematik på forskningsniveau er ofte mere kunst end beregning, og det var bestemt tilfældet her. Det krævede, at vi skulle se på en næsten 100 år gammel idé om Jensen og Pólya på en ny måde."

Riemann-hypotesen er et af syv årtusindprisproblemer, identificeret af Clay Mathematics Institute som de vigtigste åbne problemer i matematik. Hvert problem bærer en dusør på $1 million til sine løsere.

Hypotesen debuterede i et papir fra 1859 af den tyske matematiker Bernhard Riemann. Han bemærkede, at fordelingen af ​​primtal er tæt forbundet med nullerne i en analytisk funktion, som kom til at hedde Riemann zeta-funktionen. I matematiske termer, Riemann-hypotesen er påstanden om, at alle de ikke-trivielle nuller i Zeta-funktionen har reel del ½.

"Hans hypotese er en mundfuld, men Riemanns motivation var enkel, " siger Ono. "Han ville tælle primtal."

Hypotesen er et middel til at forstå et af de største mysterier inden for talteori - mønsteret bag primtal. Selvom primtal er simple objekter defineret i elementær matematik (ethvert tal større end 1 uden andre positive divisorer end 1 og sig selv), forbliver deres fordeling skjult.

Det første primtal, 2, er den eneste lige. Det næste primtal er 3, men primtal følger ikke et mønster af hvert tredje tal. Den næste er 5, derefter 7, derefter 11. Mens du bliver ved med at tælle opad, primtal bliver hurtigt sjældnere.

"Det er velkendt, at der er uendeligt mange primtal, men de bliver sjældne, selv når du når 100'erne, " forklarer Ono. "Faktisk, ud af de første 100, 000 numre, kun 9, 592 er primtal, eller omkring 9,5 pct. Og de bliver hurtigt sjældnere derfra. Sandsynligheden for at vælge et tal tilfældigt og have det primtal er nul. Det sker næsten aldrig."

I 1927, Jensen og Pólya formulerede et kriterium for at bekræfte Riemann-hypotesen, som et skridt i retning af at frigøre dets potentiale til at belyse primtallene og andre matematiske mysterier. Problemet med kriteriet - at etablere hyperboliciteten af ​​Jensen-Pólya polynomier - er, at det er uendeligt. I løbet af de sidste 90 år, kun en håndfuld af polynomierne i sekvensen er blevet verificeret, hvilket får matematikere til at opgive denne tilgang som for langsom og uhåndterlig.

For PNAS papir, forfatterne udtænkte en begrebsramme, der kombinerer polynomierne gradvist. Denne metode gjorde det muligt for dem at bekræfte kriteriet for hver grad 100 procent af tiden, overskygger den håndfuld sager, der tidligere var kendt.

"Metoden har en chokerende følelse af at være universel, i, at det gælder problemer, der tilsyneladende ikke er relaterede, " siger Rolen. "Og på samme tid, dens beviser er nemme at følge og forstå. Nogle af de smukkeste indsigter i matematik er dem, der tog lang tid at indse, men når du først ser dem, de fremstår enkle og klare."

På trods af deres arbejde, resultaterne udelukker ikke muligheden for, at Riemann-hypotesen er falsk, og forfatterne mener, at et fuldstændigt bevis for den berømte formodning stadig er langt væk.