Illusive mønstre i matematik forklaret af ideer i fysik

Mønstre optræder vidt omkring i naturen og matematik, fra Fibonacci-spiralerne af havskaller til periodiciteten af ​​krystaller. Men visse matematiske problemer kan nogle gange narre den menneskelige løser til at se et mønster, men derefter, ud af det blå, mønsteret forsvinder pludselig. Disse illusive mønstre dukker op på mange områder af matematikken, med et eksempel fra visse calculus-integraler, der har bedraget intuitionen hos selv de bedste matematikere.

Nu i en ny undersøgelse, to fysikere har nærmet sig disse integraler ved hjælp af fysikkonceptet tilfældige gåture. Hvorimod at løse disse integraler normalt kræver en stor indsats og opfindsomhed, fysikerne har vist, at den nye tilgang kan finde løsninger intuitivt og nogle gange endda uden behov for eksplicitte beregninger.

Fysikerne Satya N. Majumdar og Emmanuel Trizac ved universitetet i Paris-Sud, CNRS, i Frankrig, har udgivet et papir om at bruge random walkers til at løse integraler i et nyligt nummer af Fysiske anmeldelsesbreve.

"Vi har vist, at fysikindsigt giver os mulighed for på en beregningsfri måde at opnå et væld af nysgerrige integraler, og derudover at opnå tidligere ukendte identiteter (enten integraler, eller ligheder mellem diskrete summer og integraler), " fortalte Trizac Phys.org . "Vores arbejde afslører, at når matematisk intuition bliver bedraget, fysisk intuition kan redde dagen."

Mønstre i Borwein-integraler

De pågældende integraler (se figur) er "Borwein-integraler, " opkaldt efter David og Jonathan Borwein (far og søn), som bemærkede usædvanlige mønstre i dem i 2001. Borwein-integralerne involverer produktet af sinc (kardinal sinus) funktioner, som har udbredte anvendelser, som i optik, signalbehandling, og andre områder. Disse to særlige integraler kan bruges til at beregne volumen af ​​hyperkuber.

Løsning af Borwein-integralerne involverer at erstatte variablen med tal n . Hvert tal giver en anden løsningsværdi, giver matematikere mulighed for at observere mønstre i den resulterende rækkefølge af værdier. For eksempel, for det første integral (I _n ), når du erstatter tallene n =1-7, du får svaret π hver gang. Men når du kommer til n =8, svaret er aldrig så lidt mindre end π (omtrent π – 10 ^-10 ). Første gang matematikere beregnede denne værdi på en computer, de troede, at der måtte være en fejl i softwaren. Men svaret blev bekræftet, og de efterfølgende vilkår (for n =9, 10, osv.) bliver ved med at blive lidt mindre.

Nogle mønstre varer endnu længere. For det andet integral, J _n , de første 56 led i sekvensen (opnået ved at erstatte tallene 1 til 56 med n ) er alle π/2. Men de 57 ^th term er cirka π/2—10 ^-110 , og de efterfølgende vilkår fortsætter med at falde. (Tingene kan blive endnu mere ekstreme:For en variant af Borwein-integralerne – ikke diskuteret her – gælder et konstant værdimønster for en forbløffende første 10 ¹⁷⁶ vilkår for rækkefølgen, hvorefter mønsteret endelig bryder.)

Matematikere kan forklare, hvorfor disse mønstre pludselig går i stykker, i hvert fald i matematisk henseende. Bemærk, at begge Borwein-integraler ovenfor indeholder funktionen sinc(a _n k), hvor en _n =1/(2n—1). Hvis du erstatter i tallene 1, 2, 3, … til n i dette udtryk, du får sekvens 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, ... . Borweins bemærkede, at den første periode, 1, er ikke kun større end alle de andre udtryk, der kommer efter, men det er endnu større end summen af ​​de næste par led – det andet til det syvende led, for at være præcis, som 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/13 =0,955…, hvilket er mindre end 1. Men når man tilføjer det ottende led, 1/15, til denne sum, svaret er 1,02…, altså lige over 1. Det viser sig, at det ikke er tilfældigt, at det syvende led er det sidste led, for hvilket integralet evalueres til π, og det ottende led er det punkt, hvor mønsteret bryder.

Borweinerne beviste en teorem (se figur), der angiver denne idé i mere generelle termer. Sætningen gælder for det andet integral, J _n , såvel. Regnskab for cosinusfunktionen i J _n ændrer udtrykket ovenfor til 2/(2n—1), på grund af egenskaben cos(a)sinc(a) =sinc(2a), så det første led er 2 i stedet for 1. Som summen af ​​det andet til 56 ^th udtryk i udtrykket er mindre end 2, men tilføjer de 57 ^th sigt skubber summen over 2, sætningen holder.

Tilfældige vandrere

Selvom sætningen hjælper med at forklare, hvornår Borwein-integralernes midlertidige mønstre bryder, det er stadig ikke helt klart, hvorfor sætningen holder i første omgang.

I det nye blad, Majumdar og Trizac har tilbudt en vis fysisk intuition i teoremet ved at forbinde det med nogle velforståede begreber inden for sandsynlighedsteori og statistisk mekanik. De bemærkede, at integralet i sætningen har tætte bånd til den ensartede sandsynlighedsfordeling, som er meget brugt i hele videnskaben. Specifikt, Fourier-transformationen af ​​den ensartede sandsynlighedsfordeling er tilfældigvis kun sinc-funktionen, hvilket giver Borwein-integralet for n =1. Denne forbindelse bygger bro mellem Borwein-integralerne til den fysiske verden, så ved at bruge relevante parametre, begivenheder, der følger en ensartet fordeling, kan bruges til at modellere rækkefølgen af ​​løsninger til Borwein-integralerne.

For at beskrive denne forbindelse i en mere fysisk sammenhæng, forskerne kiggede på tilfældige vandrere. En random walker er et abstrakt objekt, der kan bevæge sig en vis afstand i enhver retning, hvor den nøjagtige afstand er valgt tilfældigt fra et kontinuerligt interval af værdier, og det er lige sandsynligt, at hver af disse værdier bliver valgt (dvs. det følger en ensartet fordeling). Tilfældige vandrere kan præcist modellere en række tilfældige fænomener, såsom aktiemarkedspriser, stierne for fouragerende dyr, og molekylernes veje i en gas, som forekommer i en, to, eller tre dimensioner, henholdsvis.

I det nye blad, the physicists show that the movements of infinitely many random walkers can be used to model the emergence and disappearance of the patterns in the Borwein integrals. To begin, the random walkers all start at the point zero on the one-dimensional number line. For the first step, each walker is allowed to move a random distance of up to 1 unit, either left or right. For the second step, each walker may move a random distance of up to 1/3, then a random distance of up to 1/5, then 1/7, 1/9, etc. That is, each successive allowable step distance corresponds to the next value of the expression 1/(2n—1).

The main question is, what is the fraction of random walkers at the starting point (the origin) after each time step? It turns out that the fraction (more precisely, the probability density) of walkers at the origin at each time step n corresponds to the solution to the Borwein integral using the same n value.

As the physicists explain, for the first seven steps, the probability density that a walker ends up at the origin is always ½, which via the theorem above corresponds to an integral value of π. The key idea is that, up to this time, the density of walkers at the origin is the same as if the entire number line was uniformly populated with walkers. I virkeligheden, as the maximum distance of each step is restricted, only part of the number line is accessible, dvs. the walkers' world is finite.

Imidlertid, for the first seven steps, the walkers at the origin perceive that their world is infinite, since they do not possess any information about the existence of boundaries that would indicate that the world is finite. This is because none of those walkers that reached the outer boundary of their world (+1 or -1 after the first step) would have been able to make it back to the starting point in less than seven steps, even if taking the maximum size steps allowed and all in the direction toward the starting point. As these walkers had zero probability of showing up at the starting point before the eighth step, they could not affect the fraction of random walkers at the starting point. So for the first seven steps, the density of walkers at the origin is fixed at ½ (it is "protected").

But once those walkers that have reached +1 or -1 return to the origin, the situation changes. After the eighth step, it's possible that some of these walkers return to the starting point. Now these walkers act as "messengers" in the sense that their return to the starting point reveals the existence of a boundary, telling the other walkers at the origin that their world is finite, and therefore influencing the density of walkers at the origin.

Since these messenger walkers made it back to the starting point, it becomes clear that some other boundary-reaching walkers did not make it back, but instead may have kept continuing to move further away. Som resultat, the probability distribution becomes more spread out, causing the fraction of walkers at the origin to gradually erode from ½ (or π for the integral). It is this erosion that explains why the values of the first Borwein integral decrease ever so slightly for n ≥ 8. A similar argument holds for the second Borwein integral (see video).

By connecting the Borwein integrals to the probabilities of random walkers, the new results offer a completely different approach to solving these integrals than through direct calculation. The physicists showed that the same approach can be applied to many other integrals in addition to the two described here, including extensions to higher dimensions. The researchers expect that the approach has the potential to provide calculation-free solutions to many other integrals that are otherwise very difficult to solve.

"Random walk problems and their infinite ramifications form one of the cornerstones of modern physics with a wide range of applications in physics, chemistry, biologi, ingeniørarbejde, etc., " Trizac said. "Since our derivation of intriguing integrals involves basic concepts from random walk theory, we expect that new identities and integrals, with real-world applications, may be derived using our key idea in the near future."

© 2019 Science X Network