Matematiker foreslår et nyt kriterium til løsning af Boussinesq-ligningerne

En matematiker fra RUDN Universitet har foreslået et nyt kriterium til løsning af Boussinesq-ligningerne. Disse ligninger beskriver den ikke-lineære udbredelse af bølger i visse medier, f.eks. plasma, en overflade af væske af lav dybde, og så videre. De undersøgte Boussinesq-ligningen i tredimensionelt rum og udledte et kriterium for unikhed og eksistensen af ​​vigtige løsninger af en særlig type til Boussinesq-partielle differentialligning. Det foreslåede kriterium har anvendelser i mekanik af kontinuerlige medier, som studerer væskers og gassers bevægelse. Artiklen blev publiceret i Bulletin fra Brazilian Mathematical Society, Ny serie .

Både Boussinesq-ligningerne og Navier-Stokes-ligningerne er systemer med partielle differentialligninger (differentiering udføres med hensyn til alle uafhængige variable). Partielle differentialligninger spiller en væsentlig rolle i matematisk fysik og mekanik. Løsning af ligninger af denne type er ofte behæftet med store vanskeligheder. Problemet med eksistensen og det unikke ved en løsning på Boussinesq-ligningerne under givne begyndelsesbetingelser (det såkaldte Cauchy-problem) var tidligere blevet undersøgt af mange videnskabsmænd, herunder artiklens forfattere. Med visse værdier af parametrene, Boussinesq-ligningerne bliver til Navier-Stokes-ligninger. Eksistensen og den vedvarende differentiabilitet, eller, som matematikere siger, glathed, af løsninger til Navier-Stokes-ligningerne er et af de syv årtusindprisproblemer, stillet i 2000 af Clay Mathematics Institute.

For nogle funktionelle rum (dvs. til homogene Besov-rum, pf hvor de berømte Sobolev-rum er et særligt tilfælde), problemet er blevet løst med succes af matematikerne Don og Zhang. RUDN Universitetets matematiker Maria Alessandra Ragusa og hendes kollega gik videre, beviser et lignende kriterium for Boussinesq-ligningerne i homogene Besov-rum. Forfatterne undersøgte Boussinesq-ligningerne i tredimensionelt rum, som gør det muligt i højere grad at anvende resultaterne i naturvidenskaberne.

Efter at have introduceret en række nødvendige definitioner og bevist hjælpelemmaer, Forfatteren fra RUDN University beviste med succes hovedsætningen og viste, at løsningen på Cauchy-problemet ikke kun eksisterer, er unik, og har ikke entydige punkter, men strækker sig også jævnt til et større interval af en uafhængig variabel. Artiklen bruger apparatet til funktionel analyse, en matematisk disciplin med et højt abstraktionsniveau. Alligevel, sådanne resultater kan finde bred og frugtbar anvendelse i mekanik og fysik.