Droner kan bestemme formen på et rum ved at lytte

Forestil dig, at en højttaler er placeret i et rum med et par mikrofoner. Når højttaleren udsender en lydimpuls, mikrofonerne modtager flere forsinkede svar, da lyden genlyder fra hver væg i rummet. Disse første-ordens ekkoer - hørt efter lydimpulser kun har hoppet én gang på en væg - springer derefter tilbage fra hver væg for at skabe andenordens ekkoer og så videre.

I en papirudgivelse i næste uge i SIAM Journal om anvendt algebra og geometri , Mireille Boutin og Gregor Kemper forsøger at rekonstruere formen af ​​et rum ved hjælp af førsteordens ekkoer modtaget af fire mikrofoner knyttet til en drone. Mikrofonerne er justeret i en stiv konfiguration og ligger ikke i et fælles plan. Placering af mikrofoner på en drone – i stedet for uafhængigt i hele rummet – afslører nye anvendelsesområder.

"Mikrofonerne lytter til en kort lydimpuls, der hopper på endelige plane overflader - eller 'væggene', '"Boutin, en professor i matematik og elektro- og computerteknik ved Purdue University, forklarer. "Når en mikrofon hører en lyd, der har hoppet på en væg, tidsforskellen mellem udsendelse og modtagelse af lyden optages. Denne tidsforskel svarer til den afstand, lyden har tilbagelagt i løbet af den tid."

Tidsforsinkelsen for hvert første-ordens ekko giver forfatterne et sæt afstande fra hver mikrofon til spejlbilleder af kilden reflekteret over hver væg. Det er umuligt at identificere den tilsvarende væg, hvorfra hvert ekko stammer; en mikrofon modtager muligvis ikke engang et ekko fra en given væg baseret på dens konfiguration og rumgeometri.

Forfatterne bruger en kendt modelleringsteknik til at fokusere på første-ordens ekkoer. Denne metode fortolker tilbagekastet lyd som at komme fra en virtuel kilde bag væggen i stedet for fra kilden, således at et virtuelt kildepunkt kan repræsentere hver væg.

"Tidsforskellene mellem emission og modtagelse giver afstanden mellem mikrofonen og det virtuelle kildepunkt, " siger Boutin. "Hvis vi kender afstanden fra et af disse virtuelle kildepunkter til hver af de fire mikrofoner, vi kan genfinde koordinaterne for den virtuelle kilde og efterfølgende rekonstruere fire punkter på væggen - og dermed det plan, der indeholder væggen."

Imidlertid, mikrofonerne kan ikke bestemme afstanden, der svarer til hvert virtuelt kildepunkt, dvs. hver væg. Som svar, Boutin og hendes kolleger designede en metode til at mærke de afstande, der korrelerer med hver væg, en proces, de kalder "ekkosortering".

Ekkosorteringsteknikken bruger et polynomium som en screeningstest og opdager, om de fire afstande ligger på nulsættet af et bestemt polynomium i fire variable. En værdi, der ikke er nul, afslører, at afstandene ikke kan hoppe fra den samme væg. Alternativt hvis polynomiet er lig nul, afstandene kunne muligvis komme fra samme væg.

Denne undersøgelse viser, at rekonstruktion af et rum fra førsteordens ekkoer erhvervet af fire mikrofoner er et teoretisk problem, der er veloplagt under generiske forhold. "Dette er et første skridt mod at løse det tilsvarende problem i den virkelige verden, " bemærker Boutin. "Hvis problemet ikke var veloplagt, så ville en praktisk løsning kræve mere information. Men da vi ved, at det er veloplagt, vi kan gå videre til næste trin:at finde en måde at rekonstruere rummet på, når ekkomålingerne er støjende."

Denne opgave er på ingen måde ligetil. Visse droneplaceringer giver anledning til problemer, der ikke er velbegrundede, tyder på, at den støjende version af problemet vil være modtagelig for dårlig konditionering. Mere arbejde er nødvendigt for korrekt at løse problemet med at rekonstruere et rum fra ekkoer.

Mens den matematiske ramme blot kræver en stiv konfiguration af ikke-koplanære mikrofoner, forskningen har en række andre potentielle anvendelsesmuligheder. "Disse mikrofoner kan placeres inde i et rum eller på ethvert køretøj, såsom en bil, et undervandsfartøj, eller en persons hjelm, "Gregor Kemper, professor ved Institut for Matematik ved Technische Universität München, forklarer. Forfatternes journalpapir stiller eksempler med stationære, indendørs lydkilder samt kilder placeret på køretøjer, der kan blive roteret og forsat på grund af bevægelse; disse sidstnævnte kilder præsenterer væsentligt mere komplicerede situationer.

"En bil i bevægelse er forskellig fra en drone eller et undervandsfartøj på en interessant måde, " Kemper tilføjer. "Dens positioner har kun tre frihedsgrader - x-akser, y-akser, og orientering – hvorimod en drone har seks frihedsgrader. Vores arbejde viser, at disse seks frihedsgrader er tilstrækkelige til næsten altid at opdage væggene, men det betyder ikke nødvendigvis, at tre grader også er tilstrækkeligt. Sagen om en bil eller et hvilket som helst overfladebaseret køretøj er genstand for løbende forskning af vores gruppe."

At opnå beregningsøkonomi for sådanne problemer er et vigtigt mål for Boutin og Kemper. Deres metode kræver et computeralgebrasystem til at udføre symbolske beregninger, som kan blive mere beregningsmæssigt kompleks for andre variationer af problemet, dermed begrænse dens udvidelse til lignende problemer. "At finde en mindre beregningsmæssigt dyr teknik til at bevise de samme resultater ville være ønskeligt, især hvis denne metode viste sig at være anvendelig i andre tilfælde, " siger Kemper. "Vores matematiske ramme er velegnet til overfladebaserede køretøjer, men de faktiske beregninger, der er nødvendige for beviset, giver udfordringer. Vi håber, at andre hold vil undersøge dette problem."