Sådan finder du perioden for en funktion

Når du graverer trigonometriske funktioner, opdager du, at de er periodiske; det vil sige, de producerer resultater, der gentager forudsigeligt. For at finde perioden for en given funktion har du brug for en vis fortrolighed med hver enkelt, og hvordan variationer i deres brug påvirker perioden. Når du har genkendt, hvordan de virker, kan du vælge mellem trefunktioner og finde perioden uden problemer.

TL; DR (for lang tid, ikke læst)

Sineperioden og cosinusfunktioner er 2π (pi) radianer eller 360 grader. For tangentfunktionen er perioden π radianer eller 180 grader.

Defineret: Funktionsperiode

Når du plotter dem på en graf, producerer de trigonometriske funktioner regelmæssigt gentagende bølgeformer. Ligesom enhver bølge har formene genkendelige træk som toppe (høje punkter) og træk (lave punkter). Perioden fortæller dig den vinklede "afstand" af en fuld cyklus af bølgen, som normalt måles mellem to tilstødende toppe eller trug. Af denne grund måler du i en matematik en funktionsperiode i vinkelenheder. For eksempel starter en sinusfunktion fra sinusfunktionen en glat kurve, der stiger til højst 1 ved π /2 radianer (90 grader), krydser nul ved π radianer (180 grader), falder til et minimum af - 1 ved 3π /2 radianer (270 grader) og når igen nul ved 2π radianer (360 grader). Efter dette punkt gentages cyklussen uendeligt og producerer de samme funktioner og værdier som vinklen stiger i den positive x
retning.

Sine og Cosine

Sine og cosinus funktioner begge har en periode på 2π radianer. Cosinusfunktionen ligner meget sinus, bortset fra at den er "fremad" af sinus med π /2 radianer. Sinefunktionen er værdien af ​​nul ved nul grader, hvor som cosinus er 1 på samme punkt.

Tangentfunktionen

Du får tangentfunktionen ved at dividere sinus af cosinus. Dens periode er π radianer eller 180 grader. Grafen af ​​tangent ( x
) er nul ved vinkeln nul, kurverne opad, når 1 ved π /4 radianer (45 grader), og derefter kurver opad igen hvor den når et divide-by-zero punkt ved π /2 radianer. Funktionen bliver så negativ uendelig og sporer et spejlbillede under y
akse, når -1 ved 3π /4 radianer og krydser y
akse ved π radianer. Selvom den har x
værdier, hvor den bliver udefineret, har tangentfunktionen stadig en definerbar periode.

Sekant, Cosecant og Cotangent

De tre andre trig-funktioner, cosecant , sekant og cotangent, er reciprocals af henholdsvis sinus, cosinus og tangent. Med andre ord er cosecant ( x
) 1 /sin ( x
), secant ( x
) = 1 /cos ( x
) og barneseng ( x
) = 1 /tan ( x
). Selvom deres grafer har udefinerede punkter, er perioderne for hver af disse funktioner de samme som for sinus, cosinus og tangent.

Periodens multiplikator og andre faktorer

Ved at multiplicere x
i en trigonometrisk funktion med en konstant, kan du forkorte eller forlænge sin periode. For eksempel for funktionssynden (2_x_) er perioden halvdelen af ​​dens normale værdi, fordi argumentet x
fordobles. Den når sit første maksimum ved π /4 radianer i stedet for π /2, og fuldfører en fuld cyklus i π radianer. Andre faktorer, som du almindeligvis ser med trig-funktioner, inkluderer ændringer i fase og amplitude, hvor fasen beskriver en ændring til startpunktet på grafen, og amplitude er funktionens maksimale eller minimale værdi, idet du ignorerer det negative tegn på minimum. Ekspressionen, 4 × sin (2_x_ + π), når for eksempel 4 ved sit maksimum på grund af 4 multiplikatoren og begynder ved at bukke nedad i stedet for opad på grund af den konstante π-konstant tilføjet til perioden. Bemærk, at hverken 4 eller π-konstanterne påvirker funktionsperioden, kun dens startpunkt og maksimum og minimumsværdier.