En matematisk bro mellem det store og det lille

En matematisk forbindelse mellem to nøgleligninger – den ene, der omhandler det helt store og den anden, den helt lille – er blevet udviklet af en ung matematiker i Kina.

Den matematiske disciplin kendt som differentialgeometri beskæftiger sig med geometrien af ​​glatte former og rum. Med rødder tilbage til antikken blomstrede feltet i begyndelsen af ​​det 20. århundrede, hvilket gjorde det muligt for Einstein at udvikle sin generelle relativitetsteori og andre fysikere til at udvikle kvantefeltteori og standardmodellen for partikelfysik.

Gao Chen, en 29-årig matematiker ved University of Science and Technology i Kina i Hefei, har specialiseret sig i en gren kendt som kompleks differentialgeometri. Dens kompleksitet er ikke i at håndtere komplicerede strukturer, men snarere fordi den er baseret på komplekse tal – et system af tal, der udvider hverdagens tal ved at inkludere kvadratroden af ​​-1.

Dette område appellerer til Chen på grund af dets forbindelser med andre områder. "Kompleks differentialgeometri ligger i skæringspunktet mellem analyse, algebra og matematisk fysik," siger han. "Mange værktøjer kan bruges til at studere dette område."

Chen har nu fundet en ny sammenhæng mellem to vigtige ligninger på området:Kähler-Einstein-ligningen, som beskriver, hvordan masse forårsager krumning i rum-tid i generel relativitetsteori, og Hermitian-Yang-Mills-ligningen, som understøtter standardmodellen for partikelfysik.

Chen blev inspireret af sin ph.d. supervisor Xiuxiong Chen fra New Yorks Stony Brook University, for at tage fat på problemet. "At finde løsninger på Hermitian-Yang-Mills og Kähler-Einstein-ligningerne betragtes som de vigtigste fremskridt inden for kompleks differentialgeometri i de foregående årtier," siger Gao Chen. "Mine resultater giver en sammenhæng mellem disse to nøgleresultater."

"Kähler-Einstein-ligningen beskriver meget store ting, lige så store som universet, hvorimod Hermitian-Yang-Mills-ligningen beskriver små ting, så små som kvantefænomener," forklarer Gao Chen. "Jeg har bygget en bro mellem disse to ligninger." Gao Chen bemærker, at der tidligere har eksisteret andre broer, men at han har fundet en ny.

"Denne bro giver en ny nøgle, et nyt værktøj til teoretisk forskning på dette område," tilføjer Gao Chen. Hans papir, der beskriver denne bro, blev offentliggjort i tidsskriftet Inventiones mathematicae i 2021.

Især kan opdagelsen finde anvendelse i strengteori - den førende udfordrer af teorier, som forskere udvikler i deres søgen efter at forene kvantefysik og relativitet. "Den deformerede Hermitian-Yang-Mills-ligning, som jeg studerede, spiller en vigtig rolle i studiet af strengteori," bemærker Gao Chen.

Gao Chen har nu øjnene rettet mod andre vigtige problemer, herunder et af de syv årtusindprisproblemer. Disse anses for at være de mest udfordrende på området af matematikere og bærer en præmie på $1 million for en korrekt løsning. "I fremtiden håber jeg at tackle en generalisering af Kähler-Einstein-ligningen," siger han. "Jeg håber også at arbejde på andre Millennium Prize-problemer, herunder Hodge-formodningen."

Leveret af University of Science and Technology i Kina