Sådan finder du en eksponentiel ligning med to point

Hvis du kender to punkter, der falder på en bestemt eksponentiel kurve, kan du definere kurven ved at løse den generelle eksponentielle funktion ved hjælp af disse punkter. I praksis betyder det, at man erstatter punkterne med y og x i ligningen y \u003d ab ^{x. Proceduren er lettere, hvis x-værdien for et af punkterne er 0, hvilket betyder, at punktet er på y-aksen. Hvis ingen af punkterne har en nul x-værdi, er processen til løsning af x og y en smule mere kompliceret.
Hvorfor er eksponentielle funktioner vigtige}

Mange vigtige systemer følger eksponentielle mønstre for vækst og forfald. F.eks. Stiger antallet af bakterier i en koloni sædvanligvis eksponentielt, og omgivende stråling i atmosfæren efter en nuklear hændelse falder normalt eksponentielt. Ved at tage data og kortlægge en kurve er forskere i en bedre position til at fremsætte forudsigelser.
Fra et par punkter til en graf

Ethvert punkt på en todimensionel graf kan repræsenteres med to tal, som normalt er skrevet i formen (x, y), hvor x definerer den vandrette afstand fra oprindelsen og y repræsenterer den lodrette afstand. For eksempel er punktet (2, 3) to enheder til højre for y-aksen og tre enheder over x-aksen. På den anden side er punktet (-2, -3) to enheder til venstre for y-aksen. og tre enheder under x-aksen.

Hvis du har to punkter (x _{1, y 1) og (x 2, y 2), skal du kan definere den eksponentielle funktion, der passerer gennem disse punkter ved at erstatte dem i ligningen y \u003d ab ^{x og løse med a og b. Generelt skal du løse dette par ligninger:}}

y _{1 \u003d ab ^{x1 og y 2 \u003d ab x2,.}}

I denne form ser matematikken lidt kompliceret ud, men den ser mindre ud, efter at du har lavet et par eksempler. _{1 - er 0, operationen bliver meget enkel. For eksempel giver løsning af ligningen for punkterne (0, 2) og (2, 4):}

2 \u003d ab ^{0 og 4 \u003d ab 2. Da vi ved, at b 0 \u003d 1, bliver den første ligning 2 \u003d a. At udskifte a i den anden ligning giver 4 \u003d 2b 2, som vi forenkler til b 2 \u003d 2, eller b \u003d kvadratrod af 2, hvilket svarer til cirka 1,41. Den definerende funktion er derefter y \u003d 2 (1.41) x.
Intet punkt på X-aksen}

Hvis ingen af x-værdierne er nul, er det at løse par af ligningerne lidt mere besværligt. Henochmath leder os gennem et let eksempel for at afklare denne procedure. I sit eksempel valgte han pointparet (2, 3) og (4, 27). Dette giver følgende par ligninger:

27 \u003d ab ⁴

3 \u003d ab ²

Hvis du deler den første ligning med den anden, får du

9 \u003d b ²

så b \u003d 3. Det er muligt for b at også være lig med -3, men antag i dette tilfælde, at det er positivt.

Du kan erstatte denne værdi for b i begge ligninger for at få en. Det er lettere at bruge den anden ligning, så:

3 \u003d a (3) ^{2, som kan forenkles til 3 \u003d a9, a \u003d 3/9 eller 1/3.}

Ligningen, der passerer gennem disse punkter, kan skrives som y \u003d 1/3 (3) ^{x.
Et eksempel fra den virkelige verden}

Siden 1910 har den menneskelige befolkningstilvækst været eksponentiel, og ved at planlægge en vækstkurve er forskere i en bedre position til at forudsige og planlægge for fremtiden. I 1910 var verdensbefolkningen 1,75 milliarder, og i 2010 var den 6,87 milliarder. Når man tager 1910 udgangspunkt, giver dette parret (0, 1,75) og (100, 6,87). Da x-værdien for det første punkt er nul, kan vi let finde en.

1.75 \u003d ab ^{0 eller a \u003d 1.75. Tilslutning af denne værdi sammen med værdierne fra det andet punkt i den generelle eksponentielle ligning giver 6,87 \u003d 1,75b 100, hvilket giver værdien af b som den hundredeste rod af 6,87 /1,75 eller 3,93. Så ligningen bliver y \u003d 1,75 (hundrede. Rod af 3,93) x. Selvom det kræver mere end en diasregel at gøre det, kan forskere bruge denne ligning til at projicere fremtidige befolkningstal for at hjælpe politikere i nuet med at skabe passende politikker.}