Sådan faktoreres polynomier med fraktioner

Den bedste måde at faktorere polynomier med fraktioner begynder med at reducere fraktionerne til enklere termer. Polynomier repræsenterer algebraiske udtryk med to eller flere udtryk, mere specifikt summen af flere udtryk, der har forskellige udtryk for den samme variabel. Strategier, der hjælper med at forenkle polynomier, involverer udregning af den største fælles faktor, efterfulgt af gruppering af ligningen i dens laveste vilkår. Det samme gælder også når du løser polynomer med fraktioner.
Polynomier med fraktioner Defineret

Du har tre måder, hvorpå man kan se sætningen polynomier med brøk. Den første fortolkning vedrører polynomer med fraktioner for koefficienter. I algebra defineres koefficienten som antallet af mængder eller konstant, der findes før en variabel. Med andre ord er koefficienterne for 7a, b og (1/3) c henholdsvis 7, 1 og (1/3). To eksempler på polynomer med fraktionskoefficienter ville derfor være:

(1/4) x ^{2 + 6x + 20 samt x 2 + (3/4) x + ( 1/8).}

Den anden fortolkning af "polynomier med fraktioner" henviser til polynomier, der findes i fraktions- eller forholdsform med en tæller og en nævner, hvor tællerens polynom divideres med nævnerens polynom. For eksempel er denne anden fortolkning illustreret af:

(x ^{2 + 7x + 10) ÷ (x 2 + 11x + 18)}

Den tredje fortolkning i mellemtiden , vedrører delvis fraktionens nedbrydning, også kendt som partiel fraktionsudvidelse. Undertiden er polynomiale fraktioner komplekse, så når de "nedbrydes" eller "opdeles" i enklere termer, præsenteres de som summer, forskelle, produkter eller kvoter af polynomfraktioner. For at illustrere evalueres den komplekse polynomfraktion af (8x + 7) ÷ (x ^{2 + x - 2) ved partiel fraktionsnedbrydning, der i øvrigt involverer faktorisering af polynomer, der skal være [3 /(x + 2 )] + [5 /(x-1)] i enklest form. I algebraiske ligninger bestemmer factoring, hvilke to mængder, der blev multipliceret sammen for at nå frem til et givet polynom. Den fordelende egenskab følges stærkt, når polynomier multipliceres. Den fordelende egenskab tillader i det væsentlige en at multiplicere en sum ved at multiplicere hvert tal individuelt, før produkterne tilføjes. Se f.eks. Hvordan den fordelende egenskab anvendes i eksemplet med:}

7 (10x + 5) for at nå frem til binomialen på 70x + 35.

Men hvis to binomialer er ganget sammen, derefter bruges en udvidet version af den distribuerende egenskab via FOIL-metoden. FOIL repræsenterer forkortelsen for første, ydre, indre og sidste vilkår multipliseres. Derfor indebærer faktorering af polynomer udførelse af FOIL-metoden baglæns. Tag de to ovennævnte eksempler med polynomerne indeholdende fraktionskoefficienter. Udførelse af FOIL-metode baglæns på hver af dem resulterer i faktorerne:

((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) for det første polynom og faktorerne for:

(x + (1/4)) (x + (1/2)) for det andet polynom.

Eksempel: (1/4) x ^{2 + 6x + 20 \u003d ((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10)}

Eksempel: x ^{2 + (3/4) x + (1/8) \u003d (x + (1/4)) (x + (1/2))
Trin, der skal tages, når man overvejer polynomiske fraktioner}

Fra oven involverer polynomiale fraktioner et polynom i tælleren divideret med et polynom i nævneren . Evaluering af polynomiale fraktioner nødvendiggør således faktorering af tællerens polynom først efterfulgt af faktorering af nævnerens polynom. Det hjælper med at finde den største fælles faktor, eller GCF, mellem tælleren og nævneren. Når først GCF for både tælleren og nævneren er fundet, annulleres den, hvilket til sidst reducerer hele ligningen til forenklede udtryk. Overvej det originale polynomfraktionseksempel ovenfor af

(x ^{2 + 7x + 10) ÷ (x 2+ 11x + 18).}

Faktorering af tæller og nævner-polynomier for at finde GCF-resultaterne i:

[(x + 2) (x + 5)] ÷ [(x + 2) (x + 9)], hvor GCF er (x + 2).

GCF i både tælleren og nævneren annullerer hinanden for at give det endelige svar i de laveste udtryk for (x + 5) ÷ (x + 9).

Eksempel:

x ^{2 + 7x + 10 (x + 2)
(x + 5) (x + 5)}

_
_
\u003d
_
_
_ \u003d _
_

x ^{2+ 11x + 18 (x + 2)
(x + 9) (x + 9)
Evaluering af ligninger via delvis fraktion Nedbrydning}

Delvis fraktion, der involverer factoring, er en måde at omskrive kompleks polynomfraktionsligninger i enklere form. Gennemgang af eksemplet ovenfra på

(8x + 7) ÷ (x ^{2 + x - 2).
Forenkle nævneren.}

Forenkler nævneren for at få: (8x + 7) ÷ [(x + 2) (x - 1)].

8x + 7 8x + 7

_
_
< em> \u003d
_
_

x ^{2 + x - 2 (x + 2) (x - 1)
Omarrangér Tæller}

Herefter skal du omarrangere tælleren, så den begynder at have GCF'erne til stede i nævneren for at få:

(3x + 5x - 3 + 10) ÷ [(x + 2) (x - 1)], der udvides yderligere til {(3x - 3) ÷ [(x + 2) (x - 1)]} + {(5x + 10) ÷ [(x + 2) (x - 1) )]}.

8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10

_
_
_
_ \u003d _
_
_
\u003d _
_
____ +

( x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)

Til venstre addend, GCF er (x - 1), mens for højre tilføjelse er GCF (x + 2), der annullerer i tælleren og nævneren, som det ses i {[(3 (x - 1)) ÷ ((x + (x - 1) (x + 2))]}.

3x - 3 5x + 10 3 (x - 1) og 5 (x + 2)

_
_
_ +
_
_
\u003d
< em> _
_
_ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) ( x - 1)
(x + 2)
(x - 1)

Således, når GCF'erne annullerer, er det endelige forenklede svar [3 ÷ (x + 2)] + [5 ÷ (x - 1)]:

3 5

_
_
+ _
_ som opløsning af den partielle fraktionsnedbrydning.

x + 2 x - 1