Sådan differentieres en funktion

En funktion udtrykker forhold mellem konstanter og en eller flere variabler. F.eks. Udtrykker funktionen f (x) = 5x + 10 et forhold mellem variablen x og konstanterne 5 og 10. Kendt som derivater og udtrykt som dy /dx, df (x) /dx eller f '(x), differentiering finder ændringshastigheden for en variabel i forhold til en anden - i eksemplet f (x) med hensyn til x. Differentiering er nyttig for at finde den optimale løsning, hvilket betyder at finde de maksimale eller minimumsbetingelser. Nogle grundlæggende regler eksisterer med hensyn til differentierende funktioner.

Differentier en konstant funktion. Derivatet af en konstant er nul. For eksempel, hvis f (x) = 5, så f '(x) = 0.

Anvend strømreglen til at differentiere en funktion. Kraftreglen angiver, at hvis f (x) = x ^ n eller x hævet til effekten n, bliver f '(x) = nx ^ (n - 1) eller x hævet til effekten (n - 1) og multipliceret med n. Hvis f (x) = 5x, så er f '(x) = 5x ^ (1 - 1) = 5. Tilsvarende, hvis f (x) = x ^ 10, så f' (x) = 9x ^ 9 ; og hvis f (x) = 2x ^ 5 + x ^ 3 + 10, så f '(x) = 10x ^ 4 + 3x ^ 2.

Find derivatet af en funktion ved hjælp af produktreglen. Differencen af ​​et produkt er ikke produktet af differentieringen af ​​dets individuelle komponenter: Hvis f (x) = uv, hvor u og v er to separate funktioner, er f '(x) ikke lig med f' (u) multipliceret ved f '(v). I stedet er derivatet af et produkt af to funktioner de første gange derivatet af det andet plus den anden gang derivatet af det første. For eksempel, hvis f (x) = (x ^ 2 + 5x) (x ^ 3), er derivaterne af de to funktioner henholdsvis 2x + 5 og 3x ^ 2. Derefter bruger f '(x) = (x ^ 2 + 5x) (3x ^ 2) + (x ^ 3) (2x + 5) = 3x ^ 4 + 15x ^ 3 + 2x ^ 4 + 5x ^ 3 = 5x ^ 4 + 20x ^ 3.

Få derivatet af en funktion ved hjælp af kvotientreglen. En kvote er en funktion divideret med en anden. Kvotientens derivat er lig med nævneren gange, tællerens derivat minus tælleren gange derivat af nævneren, så divideret med nævneren kvadreret. For eksempel, hvis f (x) = (x ^ 2 + 4x) /(x ^ 3), er derivaterne af tælleren og nævneren funktioner henholdsvis 2x + 4 og 3x ^ 2. Ved anvendelse af kvotientreglen er f '(x) = [(x ^ 3) (2x + 4) - (x ^ 2 + 4x) (3x ^ 2)] /(x ^ 3) ^ 2 = (2x ^ 4 + 4x ^ 3 - 3x ^ 4 - 12x ^ 3 /x ^ 6 = (-x ^ 4 - 8x ^ 3) /x ^ 6.

Brug fælles derivater. Derivaterne af fælles trigonometriske funktioner, som er vinkelfunktioner, behøver ikke udledes af de første principper - derivaterne af sin x og cos x er henholdsvis cos x og -sin x. Afledningen af ​​den eksponentielle funktion er selve funktionen - f (x) = f '(x) = e ^ x, og derivatet af den naturlige logaritmiske funktion, ln x, er 1 /x. For eksempel, hvis f (x) = sin x + x ^ 2 - 4x + 5, så f '(x) = cos x + 2x - 4.