Trin-for-trin guide til faktorisering af kubiske polynomier

Af Sky Smith

Opdateret:27. februar 2025 kl. 19:24 EST

© Kamil Zajaczkowski/Shutterstock

Faktorering af kubiske polynomier er et kraftfuldt værktøj, der afslører en funktions nuller, der angiver, hvor grafen ændrer retning og forenkler en dybere analyse. Mens kvadratisk factoring er ligetil, kræver cubics ofte en systematisk tilgang. Nedenfor er en gennemprøvet, ekspertgodkendt metode til effektivt at faktorisere ethvert grad-3 polynomium.

Trin 1 – Gruppering

Identificer et mønster, hvor polynomiet kan opdeles i to grupper, der deler en fælles faktor. Overvej f.eks. F(x) = x³ – x² – 4x + 4 . Gruppér termerne:

 x²(x – 1) – 4(x – 1)

Træk den delte binomiale faktor (x – 1) ud :

(x² – 4)(x – 1)

Anvend difference-of-squadras-reglen på den resterende kvadratiske:

(x – 2)(x + 2)(x – 1)

Alle faktorer er nu prime.

Trin 2 – Sum eller forskel af terninger

Når et polynomium består af to led, hver en perfekt terning, skal du bruge standardidentiteterne:

• Sum:(x³ + y³) = (x + y)(x² – xy + y²)
• Forskel:(x³ – y³) = (x – y)(x² + xy + y²)

Eksempel:G(x) = 8x³ – 125 faktorer som

(2x – 5)(4x² + 10x + 25)

Den kvadratiske er irreducerbar over hele tallene, så factoring stopper her.

Trin 3 – Udtræk en største fælles faktor

Tjek om en variabel eller konstant multiplicerer alle led. For H(x) = x³ – 4x , udregn x :

H(x) = x(x² – 4)

Anvend derefter kvadratforskelle-tricket:

H(x) = x(x – 2)(x + 2)

Trin 4 – Brug faktorsætningen

Når gruppering, terninger og GCF'er er utilstrækkelige, skal du finde en rationel rod ved hjælp af faktorsætningen. For P(x) = x³ – 4x² – 7x + 10 , test heltalskandidater ±1, ±2, ±5, ±10. Vi finder

P(5) = 0

Således (x – 5) er en faktor. Dividering med dette binomiale giver

P(x) = (x – 5)(x² + x – 2)

De kvadratiske faktorer yderligere:

(x – 5)(x – 1)(x + 2)

Referencer

• Lamar University:Factoring Polynomials