Gensidige trigonometriske identiteter forklaret:Fra grundlæggende til nøgleforhold

thomas-bethge/iStock/GettyImages

I matematik er den reciproke værdi af et tal den værdi, der, når den ganges med originalen, giver 1. For eksempel den reciproke af variablen x er \frac{1}{x} fordi x \times \frac{1}{x} =\frac{x}{x} =1 .

I trigonometri kan de to ikke-rette vinkler i en retvinklet trekant udtrykkes med de velkendte forhold sinus, cosinus og tangens. I forlængelse af dette koncept definerer matematikere de gensidige forhold:cosecant (csc), secant (sec) og cotangens (cot). Disse er de reciproke af henholdsvis sinus, cosinus og tangens.

Sådan bestemmes gensidige identiteter

Betragt en retvinklet trekant med en spids vinkel θ . Lad den modsatte side θ være b , den tilstødende side være a , og hypotenusen være r . De primære trigonometriske forhold er:

\(\tekst{sinus }θ =\sin θ =\frac{b}{r}\)
\(\tekst{cosinus }θ =\cos θ =\frac{a}{r}\)
\(\tekst{tangens }θ =\tan θ =\frac{b}{a}\)

Per definition er den reciproke af hvert forhold den værdi, der ganges tilbage til 1. Således definerer vi:

\(\tekst{cosecant }θ =\csc θ =\frac{1}{\sin θ} =\frac{r}{b}\)
\(\tekst{secant }θ =\sec θ =\frac{1}{\cos θ} =\frac{r}{a}\)
\(\text{cotangens }θ =\cot θ =\frac{1}{\tan θ} =\frac{a}{b}\)

Disse gensidige identiteter opfylder følgende grundlæggende relationer for enhver vinkel θ :

\(\sin θ \ gange \csc θ =1\)
\(\cos θ \ gange \sec θ =1\)
\(\tan θ \ gange \cot θ =1\)

Yderligere trigonometriske identiteter

At kende sinus og cosinus giver os mulighed for at udlede tangent via kvotientidentiteten:

\(\frac{\sin θ}{\cos θ} =\tan θ\)
\(\frac{\cos θ}{\sin θ} =\cot θ\)

Den pythagoræiske identitet følger af ret-trekant forholdet a ² + b ² =r ². Omarrangering og substituering af sinus- og cosinusforhold giver:

\(\sin^2 θ + \cos^2 θ =1\)

At indsætte de gensidige identiteter i dette udtryk giver yderligere to væsentlige forhold:

\(\tan^2 θ + 1 =\sec^2 θ\)
\(\cot^2 θ + 1 =\csc^2 θ\)

Disse identiteter danner rygraden i mange trigonometriske beviser og applikationer, fra simpel geometri til avancerede tekniske beregninger.