How to Remove Logarithms from Equations:A Step‑by‑Step Guide

Af Chris Deziel, Opdateret 30. august 2022

Dutko/iStock/GettyImages

Logaritmer kan gøre et ellers ligetil algebraisk problem til et knudret. De betragtes ofte som kedelige, svære at manipulere og lidt mystiske. Den gode nyhed er, at det er ligetil at fjerne dem fra en ligning, når du først husker, at en logaritme simpelthen er det omvendte af en eksponent.

Mens basen af en logaritme kan være et hvilket som helst positivt tal, er de mest almindelige baser i videnskaben 10 og Eulers tal e . I matematik betegner "log" en logaritme med base-10, og "ln" betegner en naturlig logaritme med grundtal e .

TL;DR

For at eliminere logaritmer skal du hæve begge sider af ligningen til samme potens som logaritmens basis. Hvis ligningen indeholder flere logaritmer, skal du flytte dem alle til den ene side og forenkle først.

Hvad er en logaritme?

En logaritme besvarer spørgsmålet "til hvilken styrke skal basen hæves for at producere et givet tal?" Med andre ord er logaritmen af ​​et tal den eksponent, der kræves for at få dette tal fra grundtallet. For eksempel \(\log_8 2 =6\) betyder, at 8 ² =64 . I den almindelige notation \(\log x =100\) , opfattes basen som 10, så spørgsmålet bliver "10 hævet til hvilken styrke er lig med 100?" Svaret er 2, fordi 10 ² =100 .

Fordi en logaritme er den omvendte operation af eksponentiering, kan ligninger, der indeholder logaritmer, ofte "udvikles" ved at anvende den passende eksponent på begge sider. Dette virker, så længe alle involverede logaritmer deler den samme base.

Eksempler

Simpel logaritme
\(\log x =y\)
Hæv begge sider til potensen 10:\(10^{\log x} =10^y\) . Siden 10^{\log x} =x , får vi \(x =10^y\) .

Alle termer er logaritmer
\(\log (x^2 - 1) =\log (x + 1)\)
Eksponentier begge sider med grundtallet 10:\(x^2 - 1 =x + 1\) . Forenkle for at få \(x^2 - x - 2 =0\) , hvis løsninger er \(x =-2\) eller \(x =1\) .

Blandede logaritmer og algebraiske udtryk
Følg disse trin:
1. Start med ligningen, for eksempel:\(\log x =\log (x - 2) + 3\) .
2. Flyt alle logaritmer til én side:\(\log x - \log (x - 2) =3\) .
3. Anvend logaritmelovene:\(\log \left(\frac{x}{x-2}\right) =3\) .
4. Eksponentér begge sider med grundtallet 10:\(\frac{x}{x-2} =10^3\) .
5. Løs for x :\(x =1000x - 2000 \Rightarrow -999x =-2000 \Rightarrow x =\frac{2000}{999} \ca. 2.002\) .

Ved systematisk at anvende disse regler kan du eliminere logaritmer fra næsten enhver algebraisk ligning.