E i matematik:Fra videnskabelig notation til Eulers konstant

Af Chris Deziel, Opdateret 30. august 2022

Billedkredit:Marek Uliasz / iStock / Getty Images

Bogstavet E kan have to forskellige betydninger i matematik, afhængigt af om det er stort.

Kapital E – Videnskabelig notation

På lommeregnere og i tekniske tekster, et stort E angiver en eksponent på 10. For eksempel 1E6 betyder 1 × 10 ⁶ eller en million. Denne stenografi er praktisk til tal, der ellers ville flyde over en skærm eller rode en side. Typisk E er reserveret til base-10 eksponenter; den bruges ikke sammen med andre baser.

Når du skriver et tal i videnskabelig notation, er formatet xEy , hvor x er den eller de signifikante tal og y er ti-magten. Almindelige eksempler omfatter 5E6 (fem millioner) og 4.27E4 (42.720). De fleste videnskabelige sammenhænge runder af til to decimaler for klarhedens skyld.

Små bogstaver e – Eulers tal

Matematikere bruger små bogstaver e for at betegne Eulers konstant, et irrationelt tal ca. 2,7182818284 (til ti decimaler). Ligesom π har den en ikke-gentagen, uendelig decimaludvidelse. På trods af dens tilsyneladende abstrakte natur, e er en af de mest essentielle konstanter i matematik og naturvidenskab.

Oprindelse af Eulers nummer

Konstanten e opstået fra et økonomisk problem stillet af Jacob Bernoulli i slutningen af det 17. århundrede. Overvej et depositum på $1.000 til 100% årlig rentes rente i et år:saldoen bliver $2.000. Hvis renten halveres, men anvendes to gange om året, stiger saldoen til $2.250. Med en månedlig sats på 8,33 % (1/12 af 100 %), anvendt 12 gange om året, når saldoen op på 2.613 USD.

Den generelle formel for renters rente er:

(1 + r/n)^n , hvor r er den årlige sats (her 1) og n er antallet af sammensatte perioder.

Som n nærmer sig uendeligt, konvergerer udtrykket til grænsen e . Euler opdagede denne grænse og viste, at det maksimalt opnåelige afkast på et år på en investering på $1.000 er cirka $2.718.

Eulers tal i naturlige fænomener

Funktioner i formen y = e^x kaldes naturlige eksponentialer. Grafen for denne funktion er unik, fordi kurvens hældning i hvert punkt er lig med dens værdi, og arealet under kurven op til det punkt er også lig med funktionens værdi. Disse egenskaber gør e uundværlig i kalkulation, differentialligninger og modellering af vækst eller henfald.

En af de mest allestedsnærværende forekomster af e i naturen er den logaritmiske spiral, beskrevet af ligningen:

r = a e^(bθ) . Denne spiralform findes i muslingeskaller, fossiler og mange blomster.

Ud over geometri, e overflader i forskellige videnskabelige sammenhænge, såsom elektrisk kredsløbsanalyse, Newtons lov om køling og differentialligningen, der styrer dæmpede harmoniske oscillatorer.

Selv efter tre århundreder siden dets opdagelse, fortsætter Eulers nummer med at afsløre nye anvendelser på tværs af fysik, biologi, økonomi og teknik.