Matematikere arbejder på at udvide deres nye billedmatematiske sprog til andre områder

Et billede er 1 værd, 000 ord, ordsproget siger, men en gruppe af Harvard-baserede videnskabsmænd håber, at det også kan være det samme antal ligninger værd.

Billedlove ser ud til at forene ideer fra forskellige, tværfaglige vidensområder, forbinder dem smukt som elementer i et da Vinci-maleri. Gruppen arbejder på at udvide det billedmatiske matematiske sprog, som først blev skitseret sidste år af Arthur Jaffe, Landon T. Clay professor i matematik og teoretisk videnskab, og postdoc Zhengwei Liu.

"Der er ét ord, du kan tage væk fra dette:spænding, " sagde Jaffe. "Og det er fordi vi ikke bare prøver at løse et problem her eller der, men vi forsøger at udvikle en ny måde at tænke matematik på, gennem udvikling og brug af forskellige matematiske sprog baseret på billeder i to, tre, og flere dimensioner."

Sidste år skabte de et 3D-sprog kaldet quon, som de brugte til at forstå begreber relateret til kvanteinformationsteori. Nu, ny forskning har givet fristende hints om, at quon kunne give indsigt i en lang række andre områder inden for matematik, fra algebra til Fourier-analyse, såvel som i teoretisk fysik, fra statistisk fysik til strengteori. Forskerne beskriver deres vision om projektet i et papir, der udkom 2. januar i tidsskriftet Proceedings of the National Academy of Sciences .

"Der har været en stor udvikling i dette arbejde i løbet af det sidste år, og vi tror, ​​at dette er toppen af ​​isbjerget, " sagde Jaffe. "Vi har opdaget, at de ideer, vi brugte til kvanteinformation, er relevante for et meget bredere spektrum af emner. Vi er meget taknemmelige for at have modtaget en bevilling fra Templeton Religion Trust, som gjorde det muligt for os at samle et team af forskere sidste sommer for at forfølge dette projekt yderligere, herunder studerende, kandidatstuderende, og postdocs, samt seniorsamarbejdspartnere på andre institutioner."

Kerneteamet involverer fremtrædende matematikere som Adrian Ocneanu, en gæsteprofessor i år ved Harvard, Vaughan Jones, og Alina Vdovina. Lige så vigtige er de stigende stjerner, der er kommet til Harvard fra hele verden, herunder Jinsong Wu fra Harbin Institute of Technology og William Norledge, nyuddannet fra University of Newcastle. Også involveret er studerende som Alex Wozniakowski, et af de oprindelige medlemmer af projektet og nu studerende ved Nanyang Technological University i Singapore, besøgende kandidatstuderende Kaifeng Bu fra Zhejiang University i Hangzhou, Kina, Weichen Gu og Boqing Xue fra det kinesiske videnskabsakademi i Beijing, Harvard kandidatstuderende Sruthi Narayanan, og Chase Bendarz, en bachelor ved Northwestern University og Harvard.

Mens billeder er blevet brugt i matematik siden oldtiden, Jaffe og kolleger mener, at teamets tilgang, som involverer anvendelse af billeder på matematik generelt og brug af billeder til at udforske forbindelserne mellem matematik og fag som fysik og kognitiv videnskab, kan markere fremkomsten af ​​et nyt felt.

Blandt den slags problemer, holdet allerede har været i stand til at løse, Liu sagde, er en billedlig måde at tænke Fourier-analyse på.

"Vi udviklede dette, motiveret af flere ideer fra Ocneanu, sagde han. Straks, vi brugte dette til at give ny indsigt i kvanteinformation. Men vi fandt også ud af, at vi kunne bevise en omfattende algebraisk identitet for formel 6j-symboler, "et standardværktøj i repræsentationsteori, i teoretisk fysik, og i kemi.

Denne identitet var blevet fundet i en elementær sag, men Harvard-matematikeren Shamil Shakirov formodede, at det var sandt i en generel form. Gruppen har nu lagt et bevis på arXiv.org, der er under revision til offentliggørelse senere på året. En anden meget generel familie af identiteter, som gruppen har forstået ved blot at bruge den geometriske Fourier-transformation, er kendt som Verlinde-fusionsformlerne.

"Ved at se på den matematiske analyse af billeder, vi fandt også nogle virkelig uventede nye uligheder. De generaliserer de berømte usikkerhedsprincipper hos [Werner] Heisenberg og [G.H.] Hardy og bliver en del af en større historie, " sagde Liu. "Så matematikken i billedsprogene i sig selv er ret interessant at forstå. Så ser vi deres implikationer på andre emner."

"Jeg er meget optaget af dette projekt, fordi før dette, Jeg arbejdede på kvanteinformation, men den eneste måde jeg vidste at gøre det på var at bruge lineær algebra, " sagde Bu. "Men arbejder med Arthur og Zhengwei, vi har været i stand til at bruge dette billedsprog til at udlede nye ideer og geometriske værktøjer, som vi kan bruge til at udvikle nye kvanteprotokoller. De har allerede været nyttige, og vi forudser, at disse ideer kan få vidtgående anvendelser i fremtiden.

"Det er fantastisk, Jeg tror, at vi kan bruge et simpelt billedsprog til at beskrive meget komplicerede algebraligninger, "Bu fortsatte. "Jeg tror, ​​det ikke kun er en ny tilgang, men et nyt felt for matematik."

Ocneanu indskød, "I sidste ende, hvad højere-dimensionelt billedsprog gør, er at oversætte rummets struktur til matematik på en naturlig måde."

Mens traditionelle, lineær algebra udflader 3-D-koncepter til en enkelt linje af ligninger, han sagde, billedsproget giver videnskabsmænd mulighed for at bruge 3-D og højere dimensionelle rum til at oversætte verden omkring dem.

"Plads, eller mere generelt rum-tid, er en slags beregningsmaskine, " sagde Ocneanu. "Vi burde virkelig oversætte, hvad rummet gør til den slags ting matematikere bruger, så vi kan læse rummets struktur."

For Norledge, det nye matematiske sprog er slående i den måde, det bygger fra en håndfuld relativt simple begreber til en kompleks teori.

"Min baggrund er i repræsentationsteori; mit speciale er inden for dette område af matematik kaldet geometrisk gruppeteori, " sagde han. "Så med en baggrund af at bruge billeder og geometriske objekter, det hjælper at anvende matematik på denne måde. Vi prøver stadig at indse dette, men hvis det hele går igennem og lykkes, du har et meget smukt område af matematik, hvor du starter med nogle få aksiomer, og lige fra den begyndelse kan du generalisere denne meget ikke-trivielle teori med denne smukke struktur."

"Vi håber, at man til sidst kan implementere de ideer, vi studerer, i nye teoretisk-fysiske modeller, såvel som i nogle praktiske termer, " sagde Jaffe. "For at dele i vores begejstring, tag et kig på vores hjemmeside."