Den underlige verden af ​​ensidede genstande

Du har højst sandsynligt stødt på ensidige genstande hundredvis af gange i dit daglige liv - som det universelle symbol for genbrug, fundet trykt på bagsiden af ​​aluminiumsdåser og plastikflasker.

Dette matematiske objekt kaldes en Mobius-strimmel. Det har fascineret miljøforkæmpere, kunstnere, ingeniører, matematikere og mange andre lige siden dens opdagelse i 1858 af August Möbius, en tysk matematiker, der døde for 150 år siden, den 26. sept. 1868.

Möbius opdagede den ensidede strimmel i 1858, mens han tjente som formand for astronomi og højere mekanik ved universitetet i Leipzig. (En anden matematiker ved navn Listing beskrev det faktisk et par måneder tidligere, men udgav først sit arbejde i 1861.) Möbius ser ud til at have stødt på Möbius-strimlen, mens han arbejdede på den geometriske teori om polyedre, solide figurer sammensat af hjørner, kanter og flade flader.

En Möbius-strimmel kan laves ved at tage en strimmel papir, giver den et ulige antal halve drejninger, tap derefter enderne sammen igen for at danne en løkke. Hvis du tager en blyant og tegner en streg langs midten af ​​strimlen, du vil se, at linjen tilsyneladende løber langs begge sider af løkken.

Konceptet med et ensidigt objekt inspirerede kunstnere som den hollandske grafiker M.C. Escher, hvis træsnit "Möbius Strip II" viser røde myrer kravlende den ene efter den anden langs en Möbius-strimmel.

Möbius-striben har mere end blot én overraskende egenskab. For eksempel, prøv at tage en saks og klippe strimlen i to langs den linje, du lige har tegnet. Du kan blive overrasket over at opdage, at du ikke står tilbage med to mindre ensidede Möbius-strimler, men i stedet med én lang tosidet løkke. Hvis du ikke har et stykke papir ved hånden, Eschers træsnit "Möbius Strip I" viser, hvad der sker, når en Möbius-strimmel skæres langs dens midterlinje.

Selvom striben bestemt har visuel appel, dens største indflydelse har været i matematik, hvor det var med til at anspore udviklingen af ​​et helt felt kaldet topologi.

En topolog studerer egenskaber ved objekter, der bevares, når de flyttes, bøjet, strakt eller snoet, uden at skære eller lime dele sammen. For eksempel, et sammenfiltret par øretelefoner er i topologisk forstand det samme som et par sammenfiltrede øretelefoner, fordi at ændre den ene til den anden kun kræver flytning, bøjning og vridning. Ingen skæring eller limning er påkrævet for at transformere mellem dem.

Et andet par genstande, der topologisk set er det samme, er en kaffekop og en doughnut. Fordi begge objekter kun har ét hul, den ene kan deformeres til den anden ved blot at strække og bøje.

Antallet af huller i en genstand er en egenskab, som kun kan ændres gennem skæring eller limning. Denne egenskab – kaldet "genus" af et objekt – giver os mulighed for at sige, at et par ørepropper og en doughnut er topologisk forskellige, da en doughnut har et hul, hvorimod et par ørepropper ikke har huller.

Desværre, en Möbius-strimmel og en tosidet løkke, som et typisk silikonebevidst armbånd, begge ser ud til at have ét hul, så denne egenskab er utilstrækkelig til at adskille dem – i hvert fald fra en topologs synspunkt.

I stedet, den egenskab, der adskiller en Möbius-strimmel fra en tosidet løkke, kaldes orienterbarhed. Ligesom dets antal huller, en genstands orienteringsevne kan kun ændres gennem skæring eller limning.

Forestil dig at skrive dig selv en note på en gennemsigtig overflade, så gå en tur rundt på den overflade. Overfladen er orienterbar, hvis når du kommer tilbage fra din gåtur, du kan altid læse notatet. På en ikke-orienterbar overflade, du kan komme tilbage fra din gåtur kun for at opdage, at de ord, du skrev, tilsyneladende er blevet til deres spejlbillede og kun kan læses fra højre mod venstre. På den tosidede løkke, noten vil altid læse fra venstre mod højre, uanset hvor din rejse tog dig hen.

Da Möbius-striben er ikke-orienterbar, hvorimod den tosidede løkke er orienterbar, det betyder, at Möbius-strimlen og den tosidede løkke er topologisk forskellige.

Begrebet orienterbarhed har vigtige implikationer. Tag enantiomerer. Disse kemiske forbindelser har de samme kemiske strukturer bortset fra en nøgleforskel:De er spejlbilleder af hinanden. For eksempel, kemikaliet L-metamfetamin er en ingrediens i Vicks dampinhalatorer. dens spejlbillede, D-metamfetamin, er et klasse A ulovligt stof. Hvis vi levede i en ikke-orienterbar verden, disse kemikalier ville ikke kunne skelnes.

August Möbius' opdagelse åbnede nye måder at studere den naturlige verden på. Studiet af topologi fortsætter med at producere fantastiske resultater. For eksempel, sidste år, topologi fik videnskabsmænd til at opdage mærkelige nye tilstande af stof. Årets Fields-medalje, den højeste ære i matematik, blev tildelt Akshay Venkatesh, en matematiker, der hjalp med at integrere topologi med andre felter såsom talteori.

Denne artikel er genudgivet fra The Conversation under en Creative Commons-licens. Læs den originale artikel.