Skalamatematik:Stor, lille og alt derimellem

Træk vejret. Når dine lunger udvider sig, luft fylder 500 millioner små alveoler, hver en brøkdel af en millimeter på tværs. Mens du ånder ud, disse millioner af små åndedrag smelter ubesværet sammen gennem større og større luftveje til et ultimativt åndedrag.

Disse luftveje er fraktale.

Fraktaler er et matematisk værktøj til at beskrive objekter med detaljer i enhver skala. Matematikere og fysikere som mig bruger fraktaler og relaterede begreber til at forstå, hvordan tingene ændrer sig fra små til store.

Du og jeg oversætter mellem vidt forskellige skalaer, når vi tænker på, hvordan vores valg påvirker verden. Bidrager denne latte til klimaændringer? Skal jeg stemme til dette valg?

Disse konceptuelle værktøjer gælder for kroppen såvel som landskaber, naturkatastrofer og samfund.

Fraktaler overalt

I 1967, matematikeren Benoit Mandelbrot spurgte, "Hvor lang er Storbritanniens kyst?"

Det er et trick spørgsmål. Svaret afhænger af, hvordan du måler det. Hvis du sporer omridset på et kort, du får et svar, men hvis du går langs kysten med en meterstok, resultatet er et helt andet. Enhver, der har forsøgt at estimere længden af ​​en forrevne vandresti ud fra et kort, kender det store billedes forræderi.

Det er fordi lunger, den britiske kystlinje og vandrestier har alle fraktalitet:deres længde, antallet af grene eller en anden mængde afhænger af den skala eller opløsning, du bruger til at måle dem.

Kystlinjen er også sig selv - den er lavet af mindre kopier af sig selv. Bregneblade, træer, sneglehuse, landskaber, silhuetterne af bjerge og flodnetværk ligner alle mindre udgaver af sig selv.

Derfor, når du ser på et luftfoto af et landskab, det er ofte svært at sige, om skalaen skal være 50 km eller 500 m.

Dine lunger ligner sig selv, fordi kroppen fint kalibrerer hver gren i nøjagtige proportioner, gør hver gren til en mindre kopi af den forrige. Dette modulære design gør lungerne effektive i enhver størrelse. Tænk på et barn og en voksen, eller en mus, en hval. Den eneste forskel mellem små og store er, hvor mange gange luftvejene forgrener sig.

Selvlighed og fraktalitet optræder i kunst og arkitektur, i buerne inden for buer af romerske akvædukter og spir af gotiske katedraler, der spejler skovens baldakin. Selv gamle kinesiske kalligrafer Huai Su og Yan Zhenqing værdsatte fraktaliteten af ​​sommerskyer, revner i en væg og vandpletter i et utæt hus i 722.

Skala-invarians

Selvlignende objekter har en skalainvarians. Med andre ord, nogle ejendomme besidder uanset hvor store de bliver, såsom lungernes effektivitet.

Træde i kræft, skalainvarians beskriver, hvad der ændrer sig mellem skalaer ved at sige, hvad der ikke ændrer sig.

Leonardo da Vinci bemærkede, at som en gren af ​​træer, det samlede tværsnitsareal af alle grene bevares. Med andre ord, går fra stamme til kviste, antallet af grene og deres diameter ændres med hver forgrening, men den samlede tykkelse af alle grene bundtet sammen forbliver den samme.

Da Vincis observation indebærer en skalainvarians:For hver gren af ​​en vis radius, der er fire nedstrøms grene med den halve radius.

Jordskælvsfrekvensen har en lignende skalainvarians, som blev observeret i 1940'erne. De store kommer til at tænke på - Lissabon 1755, San Francisco 1989 - men mange små jordskælv forekommer i Californien hver dag. Gutenberg-Richter-loven siger, at jordskælvsfrekvensen afhænger af jordskælvets størrelse. Svaret er overraskende enkelt. Et ti gange større jordskælv forekommer omkring en tiendedel så ofte.

Samfundet og magtloven

En økonom fra det 19. århundrede Vilifredo Pareto - berømt på handelsskolen for 80/20-reglen - observerede, at antallet af familier med en vis rigdom er omvendt proportional med deres rigdom, hævet til en eller anden eksponent. Pareto målte eksponenten for forskellige år og forskellige lande og fandt ud af, at den normalt var omkring 1,5.

Paretos rigdomsfordeling blev kendt som magtloven, tilsyneladende på grund af eksponenten eller "magten".

Alt selv-lignende har en tilsvarende magtlov. I et aprilblad, min kollega og jeg beskriver den tilsvarende magtlov for lunger, blodkar og træer. Den adskiller sig kun fra Paretos magtlov ved at tage højde for specifikke forhold mellem grene.

Størrelsen af ​​formuer er da beslægtet med størrelsen af ​​trækviste eller blodkar - nogle få stammer eller store grene og eksponentielt flere små kviste.

Pareto tænkte på sin fordeling af rigdom som en naturlov, men mange forskellige modeller for social organisation giver anledning til en Pareto-fordeling, og samfund varierer i rigdomsulighed. Jo højere Paretos eksponent, jo mere ligeværdigt samfund.

Fra at forstå hvordan mennesker består af små celler til hvordan vi påvirker planeten, selv-lighed, fraktalitet og skalainvarians hjælper ofte med at oversætte fra et organisationsniveau til et andet.

Denne artikel er genudgivet fra The Conversation under en Creative Commons-licens. Læs den originale artikel.