En ny bro mellem fraktalernes geometri og dynamikken i delvis synkronisering

I matematik, simple ligninger kan generere en kompleks udvikling i tid og spændende mønstre i rummet. Et berømt eksempel på dette er Mandelbrot sættet, opkaldt efter den fransk-amerikanske matematiker af polsk oprindelse, Benoit B. Mandelbrot (1924-2010), den mest undersøgte fraktal. Dette sæt er baseret på en enkelt andengradsligning med kun én parameter og én variabel. De fascinerende fraktale mønstre i Mandelbrot-sættet har tiltrukket sig opmærksomhed langt ud over matematikken.

En artikel af Ralph Andrzejak, med titlen "Kimærer begrænset af fraktale grænser i det komplekse plan, " er en del af en specialudgave af tidsskriftet Kaos til minde om den russiske professor Vadim S. Anishchenko, (1943-2020), offentliggjort den 3. maj 2021. Andrzejak er leder af den ikke-lineære tidsserieanalysegruppe ved UPF Department of Information and Communication Technologies (DTIC). Værket generaliserer Mandelbrot-sættet for fire andengradsligninger. Figuren vist ovenfor er et eksempel på de mønstre, der genereres gennem denne tilgang.

En rejse gennem mange størrelsesordener

Andrzejak bemærker, at "kompleksiteten af ​​fraktale mønstre kan ses, når vi kommer tættere på stadigt mindre detaljer, " som forfatteren illustrerer på billedet nedenfor. Han forklarer billedet ved at sige, at "globalt, mønsteret vist i øverste venstre panel af figuren ligner Mandelbrots klassiske sæt. Imidlertid, så snart vi inspicerer detaljerne, vi kan se mønstre, der ikke kan findes i Mandelbrot-sættet. For at se disse detaljer bedre, vi forstørrer firkanten for at producere det næste panel."

"Iterativ zoom i fraktale mønstre. Fra venstre mod højre og top til bund, efterfølgende paneler forstørrer firkanterne af de tilsvarende tidligere paneler. Den første figur ovenfor vises igen, her som det femte trin i forstørrelsen.

Forfatteren bruger en sammenligning til at understrege, at disse mønstre faktisk er i mange størrelsesordener. Han udtaler, at "zoomen på de tolv paneler, der udgør billedet, svarer til at sprænge et atom i luften på størrelse med en SUV-bil." "Når vi zoomer ind, øge størrelsen af ​​billedet, vi ser, at der er et rigt udvalg af æstetisk spændende former og former. De mønstre, vi har opdaget, kan virke mindre filigrane og mindre ordnede, men de kan være mere varierede end dem, der findes i Mandelbrot-sættet."

Interaktion af fraktaler og synkronisering

Men der er mere end fraktale mønstre at nærme sig Andrzejaks forslag. Da forfatteren bruger fire ligninger i stedet for én, han har også været i stand til at studere synkronisering inden for disse fraktale mønstre. Hvordan kan vi forstå dette? Andrzejak forklarer ved at sige "Mandelbrot-sættet er baseret på en ligning med en parameter og en variabel. Vi kan forestille os denne variabel som en lille bold, der bevæger sig på overfladen af ​​et stort rundt bord. Hvad der sker med denne bold afhænger af parameteren for ligning. For nogle værdier af denne parameter, bolden bevæger sig og er altid på bordet. Sættet af alle disse parameterværdier, som bolden forbliver på bordet, er det, der definerer Mandelbrot-sættet. Tværtimod, for de resterende parameterværdier, bolden falder fra bordet på et tidspunkt."

Andrzejak fortsætter med at sige, at "man kunne tro, at de fire ligninger, vi bruger, beskriver bevægelsen af ​​ikke kun én, men fire bolde på bordfladen. Da ligningerne hænger sammen, boldene kan ikke bevæge sig frit. Imidlertid, de tiltrækker hinanden, som solen, Jorden og månen tiltrækker hinanden gennem tyngdekraften." Forskeren tilføjer, at "som et resultat af denne tiltrækning, de fire kugler kan vise forskellige former for synkronisering. De to yderpunkter er:De fire bolde bevæger sig sammen langs de samme stier, eller hver bold følger sin egen vej." Andrzejak understreger derefter, at "vigtigst, ud over disse ekstremer, er at finde såkaldt delvis synkronisering. For eksempel, to bolde kan bevæge sig synkront sammen, mens de to andre bolde forbliver usynkroniserede fra denne bevægelse. Denne særlige tilstand af delvis synkronisering kaldes kimærtilstanden, "deraf titlen på artiklen.

Et spørgsmål af stor betydning for dynamikken i den virkelige verden

Hvis vi spørger os selv, om den pågældende matematiske model kan være relevant for dynamikken i den virkelige verden, Andrzejak svarer "Ja. Absolut. Det bedste eksempel er hjernen. Hvis alle vores neuroner synkroniserede eller gik ude af sync, vores hjerne kunne ikke længere udføre sit arbejde. Vores hjerne kan kun fungere korrekt, hvis nogle neuroner synkroniserer, mens andre neuroner forbliver ude af sync. Delvis synkronisering er afgørende for, at hjernen fungerer korrekt." Forfatteren relaterer dette til sit arbejde og siger:"vi demonstrerer, hvordan det er muligt at etablere delvis synkronisering i en meget enkel model og, i øvrigt, vi viser, hvordan denne delvise synkronisering er begrænset inden for fraktalgrænserne gennem fuld synkronisering og desynkronisering." Forfatteren konkluderer:"Hvis vi studerer de grundlæggende mekanismer for delvis synkronisering i meget simple modeller, dette kan hjælpe med at forstå, hvordan det er etableret, og hvordan det kan holdes stabilt i så komplekse systemer som den menneskelige hjerne."