Trekropsproblemets overbevisende matematiske udfordring

Fra sin oprindelse for mere end 300 år siden i Newtons arbejde med planetariske baner, problemet med tre kroppe er blomstret op til et rigt emne, der fortsætter med at give ny indsigt for matematikere.

Richard Montgomery, en fremtrædende professor i matematik ved UC Santa Cruz, kalder det et af de klassiske dilemmaer i matematisk historie. I en artikel i augustnummeret af Scientific American , han fortæller om tre-kropsproblemets historie og de fremskridt, som han og andre matematikere har gjort i de sidste to årtier.

"Det har udfordret folk i århundreder, og det er til dels det, der gør det interessant. Du føjer til arbejdet af folk som Newton og Poincaré og Lagrange, " sagde Montgomery.

Det grundlæggende problem er at forudsige bevægelserne af tre kroppe (såsom stjerner eller planeter), der gensidigt tiltrækkes af tyngdekraften, givet deres udgangspositioner og hastigheder. Det viser sig, at en generel løsning på problemet i det væsentlige er umulig på grund af kaotisk dynamik, som Henri Poincaré opdagede i 1890.

"Der er løsninger til særlige tilfælde, men der er ikke en simpel formel til at give dig en generel løsning, " forklarede Montgomery.

Fra det praktiske synspunkt at forudsige planetariske baner og planlægge rummissioner, tilnærmelser kan beregnes med en høj grad af nøjagtighed ved hjælp af computere og en proces kaldet numerisk integration. Det kan være godt nok for NASA, men ikke for matematikere, hvis fortsatte udforskning af problemet har ført til vigtige fremskridt inden for matematikken.

Faldende katte

Trelegemeproblemet binder tre forskellige grene af matematikken sammen:topologi, geometri, og dynamik. Montgomery sagde, at det var det, der fik ham til at interessere sig for det for mere end 20 år siden. Han havde arbejdet med spørgsmål relateret til matematikken og fysikken om, hvordan en kat lander på sine fødder, som har anvendelser inden for kontrolteori og satellitorientering.

"Jeg blev ved med at forenkle problemet, indtil katten kun bestod af tre punktmasser, " sagde Montgomery. Så henviste en kollega ham til en anden matematiker, der havde arbejdet på lignende ideer, og inden længe havde han skiftet fra faldende katte til himmelmekanik. Da jeg hørte, at de bedste mennesker, der arbejdede med himmelmekanik, var i Paris, Montgomery tilbragte et sabbatår der og arbejdede sammen med Alain Chenciner på Paris Diderot University om problemet med tre krop.

Et af deres første store resultater, udgivet i 2000, var en genopdagelse og bevis på en ottetals-formet løsning, hvor tre lige store kroppe jager hinanden uendeligt rundt i en ottetalsløkke. Selvom Chris Moore fra Santa Fe Institute først havde fundet denne løsning i 1993, ved hjælp af en numerisk tilnærmelsesmetode, dets genopdagelse af Montgomery og Chenciner havde en meget større indflydelse på feltet.

"Vi var i stand til at give et strengt eksistensbevis for ottetals-løsningen, og måden vi gjorde det på gjorde det muligt for andre at generalisere løsningen og finde en masse andre interessante ting, " forklarede Montgomery.

En mere generel erklæring om tre-legeme-problemet for et hvilket som helst antal kroppe større end to kaldes N-legeme-problemet. Montgomery sagde, da han første gang præsenterede løsningen med tre kropsfigur otte på en konference, et medlem af publikum påpegede hurtigt, hvordan det skulle fungere for fire kroppe. Snart, matematikere opdagede en bred vifte af nye baner for N-legemeproblemet med lige masse. Disse periodiske løsninger, hvor alle masserne jagter hinanden rundt i en fast, lukket kurve uden kollisioner blev kaldt "koreografier" af den spanske matematiker Carles Simó, som har opdaget hundredvis af dem.

"Det skabte en miniindustri, så vi nu kender et stort antal af disse koreografier, " sagde Montgomery.

Ny retning

År senere, Simó hjalp med at sende Montgomerys forskning om tre-kropsproblemet i en ny retning ved at foreslå, at han ledte efter dynamiske mekanismer, der ligger til grund for de periodiske løsninger. Dette førte til et produktivt samarbejde i de senere år med Rick Moeckel fra University of Minnesota.

De nye matematiske ideer, der er opstået fra Montgomerys arbejde med trelegemeproblemet, har ikke praktiske anvendelser, i hvert fald ikke endnu. Det er ofte sådan, at abstrakte matematiske begreber udvikles længe før nogen finder en praktisk brug for dem.

Mange mennesker er blevet betaget af den æstetiske appel ved figur-otte-løsningen og andre koreografier. Konceptet har endda fundet vej til science fiction gennem den kinesiske forfatter Liu Cixin, hvis roman The Three-Body Problem vandt Hugo-prisen i 2015.

Men Montgomery siger, at han aldrig ville have tacklet problemet, hvis han ikke havde haft embedsperiode.

"Det er så svært et problem, og du ved ikke om du vil gøre fremskridt, " sagde han. "Men vedholdenhed betaler sig nogle gange. Så jeg sætter pris på ansættelsessystemet, og også at kunne tage sabbatår for at arbejde med samarbejdspartnere. Der er noget ved fysisk at møde mennesker, der er så vigtigt for at arbejde sammen."

I hans Scientific American artikel, Montgomery giver ikke kun en detaljeret beskrivelse af problemet med tre krop, men også en fascinerende historie om de internationale samarbejder og personlige relationer, der satte ham i stand til at gøre fremskridt på denne overbevisende matematiske gåde.