Matematikere foreslog en udtrykkelig metode til beregning af lysets udbredelse

Matematikere fra RUDN University og Nuclear Safety Institute of RAS (NSI RAS) har foreslået en numerisk metode til løsning af ligninger, der beskriver udbredelsen af ​​lys i et medium. De brugte den ikke-lineære eikonal-ligning med randbetingelser som grundlag. Et sådant problem kan ikke løses direkte, så matematikerne udviklede en numerisk metode, udførte beregninger, og producerede et billede af sådanne løsningers "adfærd". Resultaterne kan blive grundlaget for en omfattende teori om omtrentlige løsninger af sådanne differentialligninger. Metoden kan anvendes til fremstilling af linser og optiske krystaller. Artiklen blev publiceret i Journal of Computational and Applied Mathematics .

Eikonalligningen er en ikke-lineær partiel differentialligning. Den beskriver udbredelsen af ​​lys i et medium og er nødvendig for at løse problemer i optik. Det gør det muligt at forbinde plan optik, undervist i skolerne, og bølgeoptik, som beskrives med komplekse ligninger.

Det er traditionelt at bruge en metode baseret på løsning af et stort system af ikke-lineære ligninger for at finde en numerisk løsning (dvs. for at opnå en tilstrækkelig nøjagtig omtrentlig løsning) for den eikonale ligning.

RUDN University og NSI RAS matematikere brugte en anden tilgang, hvilket gør det lettere at finde en løsning for den ikke-lineære eikonalligning ved hjælp af en numerisk metode:en ændring af variable med tilføjelse af en parameter. Ændringen resulterer i nye ligninger, hvilken, på den ene side, er enklere end de oprindelige:problemet bliver lineært. På den anden side, deres løsninger er ikke løsningerne fra det originale system. Imidlertid, Efterhånden som parameteren falder, kommer løsningerne for det nye system tættere på løsningerne for det originale.

Matematikere reducerede gradvist (med en vis fast værdi) værdien af ​​den tilføjede parameter og for hver sådan værdi løste ligningen numerisk. For hver efterfølgende parameterværdi blev den resulterende opløsning sammenlignet med de foregående. Efterhånden som parameteren faldt, ændrede løsningerne sig mindre og mindre, det er, resultatet af beregningerne stabiliserede sig. Det viste sig, at en tilstrækkelig stabil løsning kræver en relativt lille parameterværdi. Den resulterende løsning blev taget som en tilnærmelse af den oprindelige ligning.

Matematikerne har vist, at en sådan metode giver ret gode resultater på repræsentative modelproblemer.

"Beregningsmæssig kompleksitet - de såkaldte 'beregningsomkostninger' ved den tilgang, vi taler om - overstiger ikke den for andre tilgange. Selvom, vi løser et problem med lineær grænseværdi, og det, selvfølgelig, er mindre besværligt end at løse et ikke-lineært problem, " forklarede Petr Vabishevich, forfatteren af ​​undersøgelsen og medlem af Research Center for Computational Methods in Applied Mathematics ved RUDN Universitetet.

Vabishevich og hans medforfattere modellerede ligningen for anisotrope medier. Fra et fysiks synspunkt, dette er et miljø, hvor de fysiske egenskaber ved lysudbredelse i forskellige retninger ikke er de samme. Materialer med disse egenskaber er nu meget brugt i optiske enheder.

Udover optik, den eikonale ligning bruges også til numerisk at løse ligninger, der beskriver en væskes bevægelse. Sådan modellering er nødvendig for at skabe realistiske billeder i computergrafik - f.eks. i filmen "Pirates of the Caribbean" blev vandet ikke bare tegnet, men beregnet på et fysisk niveau. Beregningshastigheden, som potentielt kunne forbedres af metoden udviklet af matematikere ved RUDN University og NSI RAS, spiller en central rolle i sådanne tilfælde.