Matematikere beviser Hardy-Littlewood-Sobolev ulighederne

RUDN University matematikere har bevist Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) uligheder for klassen af ​​generaliserede Riesz potentialer. Disse resultater udvider omfanget af disse potentialer i matematik og fysik, fordi de vigtigste værktøjer til at arbejde med sådanne potentialer er baseret på HLS-uligheder. Nye matematiske værktøjer kan i høj grad forenkle beregninger inden for kvantemekanik og andre fysikområder. Resultaterne af undersøgelsen er offentliggjort i tidsskriftet Matematiske noter .

Moderne fysik beskriver verden i form af felter og deres potentialer - dvs. feltets værdier ved hvert punkt. Men de fysiske størrelser, vi kan måle, er kræfter og accelerationer, det er, afledte af anden orden af ​​potentialet for det tilsvarende felt. Problemet med at rekonstruere feltkonfigurationen med de tilgængelige værdier af kræfter og accelerationer observeret i eksperimenter er komplekst og ikke altid analytisk løseligt. Differentieringsoperationer i multidimensionelt rum - operatører bruges normalt til at beskrive sammenhængen mellem feltets potentiale og kræfterne. I særdeleshed, elektromagnetiske og gravitationelle interaktioner er beskrevet på operatørernes sprog.

Da feltets potentiale kan bestemmes op til en konstant værdi, for at lette beregningerne, potentialets begyndelsesværdi tages på et tidspunkt i det multidimensionelle rum, eller på grænsen af ​​ethvert rumligt område. Men i nogle tilfælde, matematiske modeller af sådanne felter fører til en singularitet, det er, på nogle punkter bliver værdien af ​​feltet uendelig, og mister derfor sin fysiske betydning.

Vagif Guliyev, forskeren ved Nikol'skii Institute of Mathematics ved RUDN University, og hans kolleger arbejdede på udviklingen af ​​metoder, der gør det muligt at genoprette konfigurationen af ​​feltpotentialet udelukkende ved hjælp af analytiske metoder.

RUDN-universitetets matematikere studerede et af de vigtige tilfælde for udviklingen af ​​kvanteteori - de nødvendige og tilstrækkelige betingelser for afgrænsningen af ​​Riesz-potentialet genereret af Gegenbauer differentialoperator i vægtede Lebesgue-rum Lp, λ. Deres undersøgelse udvikler og supplerer det tidligere bevis på Hardy-Littlewood-Sobolev-sætningen for Gegenbauer-potentialet.

Operatører defineret af Riesz-potentialer har mange anvendelser inden for fysik - Riesz-potentialer inkluderer, for eksempel, elektrostatisk potentiale.

Beviset for Hardy-Littlewood-Sobolev-uligheden for generaliserede Riesz-potentialer betyder, at fysikere og matematikere har et værktøj, som vil hjælpe dem med at bestemme på forhånd, før du udfører besværlige beregninger, om det er muligt analytisk at beregne feltets konfiguration med de tilgængelige værdier af kræfter, og ikke for at opnå en singularitet.

Resultaterne af undersøgelsen kan bruges i fysik til at bestemme de betingelser, hvorunder det er muligt at genoprette det rumlige billede af fysiske felter af forskellig karakter, for eksempel, inden for kvanteelektrodynamik.