Matematiker opdager metode til at forenkle polymervækstmodellering

En matematiker fra RUDN University har bevist, at der ikke er nogen løsninger på funktionelle differentialuligheder forbundet med ligningerne af Kardar-Parisi-Zhang (KPZ)-typen, ikke-lineære stokastiske partielle differentialligninger, der opstår, når man beskriver overfladevækst. De opnåede betingelser for fravær af opløsninger vil hjælpe med studier af polymervækst, teorien om neurale netværk, og kemiske reaktioner. Artiklen blev publiceret i Komplekse variable og elliptiske ligninger .

Den største vanskelighed med ikke-lineære partielle differentialligninger er, at mange af dem ikke er løst nøjagtigt. Til praktiske formål, sådanne ligninger løses numerisk, og spørgsmålene om deres løsningers eksistens og unikke karakter bliver problemer, som videnskabsmænd har kæmpet med i årtier, og nogle gange århundreder. Et af disse problemer - Navier-Stokes eksistens og glathed - var inkluderet i den berømte liste over Millennium Prize-problemer:Clay Mathematical Institute i USA tilbyder en præmie på $1 million for at løse ethvert af disse problemer.

Enhver partiel differentialligning er defineret i et bestemt område, f.eks., på et fly eller i en kugle, eller i rummet. Som regel, det er muligt at finde en løsning på sådanne ligninger i et lille område af et punkt, dvs. en lokal løsning. Men det kan forblive uklart, om der findes en global løsning for hele området, og hvordan man finder den.

Et andet problem med ikke-lineære partielle differentialligninger er, at deres løsninger kan "sprænge i luften, " det er, pludselig begynder at tendere mod det uendelige med begrænsede tidsintervaller. Hvis dette sker, det betyder, at der ikke er nogen generel løsning. Og omvendt, hvis der ikke findes en generel løsning, det betyder, at enhver lokal løsning, der findes, også skal "sprænge" et sted. Derfor, det er vigtigt at se efter forhold, hvorunder der ikke er nogen generel løsning.

Matematikere bruger differentielle uligheder i deres forsøg på at håndtere dette problem. Essensen af ​​metoden er, at det er muligt at få ikke-strenge uligheder, der vil være "stærkere" end den oprindelige ligning fra den oprindelige partielle differentialligning. Derefter, hvis en funktion ikke opfylder disse uligheder, det er bestemt ikke en generel løsning på den oprindelige ligning.

RUDN University Mathematical Institutes matematiker Andrei Muravnik brugte metoden med uligheder. Han generaliserede de eksisterende teoremer til det kvasilineære tilfælde, der opstår i studiet af ligningerne af KPZ-typen. De opnåede betingelser begrænser ikke kun mængden af ​​mulige løsninger til ligningerne af KPZ-typen, men er også nødvendige for løseligheden af ​​problemer, der opstår i praksis. I særdeleshed, disse resultater hjælper med at løse problemerne med overfladevækst ved modellering af polymerers adfærd, og kan også bruges i teorien om neurale netværk.

Ulighedsmetoden forudsiger teoretisk den diskontinuerlige adfærd af fysiske systemer beskrevet af ligningerne af KPZ-typen. Dette vil gøre det muligt at drage konklusioner om disse systemers fysiske egenskaber. Også, denne metode kan hjælpe med problemerne med at udvide lokale løsninger. Sådanne metoder bliver nødvendige, når beregningsmetoder ikke længere er nok. Lignende problemer opstår i teorien om trafikstrømme, kemiske reaktioner med diffusion, samt ved modellering af faseovergange.

I de seneste år, teorien om, at der ikke findes generelle løsninger på ikke-lineære problemer, er blevet videreudviklet. En artikel af Andrei Muravnik fortsætter denne tendens. Betingelserne for ikke-eksistensen af ​​løsninger er interessante ikke kun fra et teoretisk synspunkt, men også fordi de vil hjælpe videnskabsmænd med at studere en lang række anvendte problemer. I den nærmeste fremtid, RUDN Universitetets matematik resultater kan finde mange anvendelser i anvendt matematisk fysik.