Forskere finder strengteoriforbindelse i en klasse af komplekse tal

Et samarbejde mellem en matematiker og en fysiker har vist, at de modulære former forbundet med elliptiske kurver med komplekse multiplikationer er udtrykt i form af observerbare i superstrengteori.

Begrebet tal kan udvides fra heltal og rationale tal til at omfatte alle reelle tal og komplekse tal, alt på en gang. Men det er også muligt at udvide konceptet gradvist, ved at tilføje rødderne af polynomier med rationelle talkoefficienter (såsom kvadratroden af ​​2 og kvadratroden af ​​3) lidt efter lidt (figur 1). Denne særlige klasse af komplekse tal omtales som "tal". De præcise detaljer om, hvordan begrebet tal kan udvides, er blevet betragtet som et af de vigtige temaer i talteorien.

I flere årtier, forskere har forsøgt at adressere og forstå dette problem. Man kunne specificere et geometrisk objekt ved ligninger ved at bruge "tallene" først, og overvej derefter sættet af punkter i det geometriske objekt, hvis værdier er "tallene". Efterhånden som begrebet tal udvides gradvist, og sættet af "numre" udvidet, flere og flere punkter i det geometriske objekt kommer til at blive talt (Figur 2). Tanken er, at den måde, hvorpå antallet af punkter i det geometriske objekt stiger, vil kaste lys over, hvordan sættet af "tal" udvider sig. Desuden, denne information om væksthastigheden af ​​antallet af punkter i det geometriske objekt er pakket ind i en funktion kaldet den inverse Mellin-transformation af L-funktionen, som er en funktion, der indeholder informationen om, hvor hurtigt antallet af punkter i et geometrisk objekt vokser, efterhånden som begrebet tal udvides. Denne funktion er forventet at være en modulær form, en funktion, der forbliver invariant under visse operationer. Denne formodning er kendt som Langlands formodning.

Kavli Institute for the Physics and Mathematics of the Universe (Kavli IPMU) Lektor og partikelteoretiker Taizan Watari og aritmetisk geometriforsker ved Middle East Technical University Northern Cyprus Campus og Kavli IPMU Visiting Scientist Satoshi Kondo turde spørge, hvorfor sådanne funktioner er invariante under visse operationer.

I strengteori, det er kendt, at en klasse af observerbare (a) er invariante under de operationer (x), der allerede er blevet henvist til. Invariansen under operationerne er en uundværlig egenskab i den teoretiske konstruktion af superstrengteori. Så, forskerne viste, at de omvendte Mellin-transformationer af L-funktionerne af geometriske objekter (b) er udtrykt i form af ovenstående klasse af observerbare (a) i superstrengteori med de geometriske objekter sat som målrum. Som resultat, det følger, at funktionerne, der indeholder informationen om, hvordan begrebet tal udvides, den omvendte Mellin transformerer, (b) bør være invariant under visse operationer, som skal være modulære former, (x) af grunde fra superstrengteoriens perspektiv.

Det skal bemærkes, at resultatet ovenfor kun opnås for klassen af ​​geometriske objekter kaldet elliptiske kurver med komplekse multiplikationer. Spørgsmålet er fortsat åbent for, om funktionerne for mere generel klasse af geometriske objekter (b) er udtrykt i form af observerbare i superstrengteori (a).

Detaljer om denne undersøgelse blev offentliggjort den 22. februar, 2019, i Kommunikation i Matematisk Fysik .