Matematikkens mystik:5 smukke matematiske fænomener

Matematik er synlig overalt i naturen, selv hvor vi ikke forventer det. Det kan hjælpe med at forklare, hvordan galakser spiraler, en muslingeskal kurver, mønstre replikeres, og floder bøjer sig.

Selv subjektive følelser, som det, vi finder smukt, kan have matematiske forklaringer.

"Matematik ses ikke kun som smukt - skønhed er også matematisk, " siger Dr. Thomas Britz, en underviser på UNSW Science's School of Mathematics &Statistics. "De to hænger sammen."

Dr. Britz arbejder i kombinatorik, et felt med fokus på kompleks tælling og opgaveløsning. Mens kombinatorik ligger inden for ren matematik, Dr. Britz har altid været tiltrukket af de filosofiske spørgsmål om matematik.

Han finder også skønhed i den matematiske proces.

"Fra et personligt synspunkt, matematik er bare rigtig sjovt at lave. Jeg har elsket det lige siden jeg var et lille barn.

"Sommetider, skønheden og glæden ved matematik ligger i begreberne, eller i resultaterne, eller i forklaringerne. Andre gange, det er tankeprocesserne, der får dit sind til at vende sig på en pæn måde, de følelser du får, eller bare arbejde i strømmen - som at fare vild i en god bog."

Her, Dr. Britz deler nogle af sine yndlingsforbindelser mellem matematik og skønhed.

1. Symmetri - men med et strejf af overraskelse

I 2018, Dr. Britz holdt et TEDx-foredrag om Emotions Matematik, hvor han brugte nyere undersøgelser om matematik og følelser til at komme ind på, hvordan matematik kan hjælpe med at forklare følelser, som skønhed.

"Vores hjerner belønner os, når vi genkender mønstre, om dette er at se symmetri, at organisere dele af en helhed, eller løse gåder, " han siger.

"Når vi opdager noget, der afviger fra et mønster - når der er et strejf af det uventede - belønner vores hjerner os igen. Vi føler glæde og begejstring."

For eksempel, mennesker opfatter symmetriske ansigter som smukke. Imidlertid, en funktion, der bryder symmetrien op i en lille, interessant eller overraskende måde – såsom et skønhedsplet – tilføjer skønheden.

"Den samme idé kan ses i musik, " siger Dr. Britz. "Mønstrede og ordnede lyde med et strejf af det uventede kan have tilføjet personlighed, charme og dybde."

Mange matematiske begreber udviser en lignende harmoni mellem mønster og overraskelse, elegance og kaos, sandhed og mystik.

"Sammenvævningen af ​​matematik og skønhed er i sig selv smuk for mig, " siger Dr. Britz.

2. Fraktaler:uendelige og spøgelsesagtige

Fraktaler er selvrefererende mønstre, der gentager sig selv, til en vis grad, i mindre skalaer. Jo nærmere man ser, jo flere gentagelser vil du se – som bladene og bladene på en bregne.

"Disse gentagne mønstre er overalt i naturen, " siger Dr. Britz. "I snefnug, flodnetværk, blomster, træer, lynet slår ned - selv i vores blodkar."

Fraktaler i naturen kan ofte kun replikere i flere lag, men teoretiske fraktaler kan være uendelige. Mange computergenererede simuleringer er blevet skabt som modeller af uendelige fraktaler.

"Du kan blive ved med at fokusere på en fraktal, men du kommer aldrig til ende, " siger Dr. Britz.

"Fraktaler er uendeligt dybe. De er også uendeligt spøgelsesagtige.

"Du har måske en hel side fuld af fraktaler, men det samlede areal, du har tegnet, er stadig nul, fordi det bare er en flok uendelige linjer."

3. Pi:en ukendelig sandhed

Pi (eller 'π') er et tal, der ofte først blev lært i gymnasiegeometri. I enkleste vendinger, det er et tal lidt mere end 3.

Pi bruges mest, når man har med cirkler at gøre, såsom at beregne omkredsen af ​​en cirkel ved kun at bruge dens diameter. Reglen er, at for enhver cirkel, afstanden rundt om kanten er ca. 3,14 gange afstanden over midten af ​​cirklen.

Men Pi er meget mere end dette.

"Når man ser ind i andre aspekter af naturen, du vil pludselig finde Pi overalt, " siger Dr. Britz. "Ikke kun er det knyttet til hver cirkel, men Pi dukker nogle gange op i formler, der ikke har noget at gøre med cirkler, som i sandsynlighed og regning."

På trods af at det er det mest berømte nummer (International Pi Day afholdes årligt den 14. marts, 3.14 i amerikansk dating), der er meget mystik omkring det.

"Vi ved meget om Pi, men vi ved virkelig ikke noget om Pi, " siger Dr. Britz.

"Der er en skønhed over det - en smuk dikotomi eller spænding."

Pi er uendelig og, Per definition, uvidende. Intet mønster er endnu blevet identificeret i decimalerne. Det er underforstået, at enhver kombination af tal, som dit telefonnummer eller fødselsdag, vises i Pi et eller andet sted (du kan søge efter dette via et online opslagsværktøj med de første 200 millioner cifre).

Vi kender i øjeblikket 50 billioner cifre af Pi, en rekord slået tidligere i år. Men, da vi ikke kan beregne den nøjagtige værdi af Pi, vi kan aldrig helt beregne omkredsen eller arealet af en cirkel – selvom vi kan komme tæt på.

"Hvad sker der her?" siger Dr. Britz. "Hvad er der ved dette mærkelige nummer, der på en eller anden måde binder alle verdens cirkler sammen?

"Der er en underliggende sandhed til Pi, men vi forstår det ikke. Denne mystik gør det endnu smukkere."

4. Et gyldent og ældgammelt snit

Det gyldne forhold (eller 'ϕ') er måske det mest populære matematiske teorem for skønhed. Det anses for at være den mest æstetisk tiltalende måde at proportionere et objekt på.

Forholdet kan forkortes, rundt regnet, til 1.618. Når det præsenteres geometrisk, forholdet skaber det gyldne rektangel eller den gyldne spiral.

"Igennem historien, forholdet blev behandlet som et benchmark for den ideelle form, hvad enten det er inden for arkitektur, kunstværk, eller menneskekroppen, " siger Dr. Britz. "Det blev kaldt den "guddommelige proportion."

"Mange berømte kunstværker, inklusive dem af Leonardo da Vinci, var baseret på dette forhold."

Den Gyldne Spiral bruges ofte i dag, især inden for kunst, design og fotografering. Midten af ​​spiralen kan hjælpe kunstnere med at indramme billedfokuspunkter på æstetisk tiltalende måder.

5. Et paradoks tættere på magi

Matematikkens ukendelige natur kan få det til at virke tættere på magi.

En berømt geometrisk sætning kaldet Banach-Tarski-paradokset siger, at hvis du har en kugle i 3D-rummet og deler den i nogle få specifikke stykker, der er en måde at samle delene på igen, så du skaber to kugler.

"Dette er allerede interessant, men det bliver endnu mere mærkeligt, " siger Dr. Britz.

"Når de to nye bolde er skabt, de vil begge have samme størrelse som den første bold."

Matematisk set, denne sætning virker - det er muligt at samle brikkerne igen på en måde, der fordobler kuglerne.

"Du kan ikke gøre dette i det virkelige liv, " siger Dr. Britz. "Men du kan gøre det matematisk.

"Det er en slags magi. Det er magi."

fraktaler, Banach-Tarski-paradokset og Pi er blot overfladen af ​​de matematiske begreber, han finder skønhed i.

"At opleve mange smukke dele af matematik, du har brug for en masse baggrundsviden, " siger Dr. Britz. "Du har brug for en masse grundlæggende - og ofte meget kedelig - træning. Det er lidt ligesom at lave en million push ups, før man dyrker en sport.

"Men det er det værd. Jeg håber, at flere mennesker kommer til det sjove i matematik. Der er så meget mere skønhed at afdække."