Hvad er en periodisk funktion?

En periodisk funktion er en funktion, der gentager dens værdier med regelmæssige intervaller eller "perioder." Tænk på det som et hjerterytme eller den underliggende rytme i en sang: Den gentager den samme aktivitet ved en stabil beat. Grafen for en periodisk funktion ser ud som om et enkelt mønster gentages igen og igen.

TL; DR (for lang; læste ikke)

En periodisk funktion gentager dens værdier på "perioder."
Typer af periodiske funktioner

De mest berømte periodiske funktioner er trigonometriske funktioner: sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant, cosecant osv. Andre eksempler på periodiske funktioner i naturen inkluderer lysbølger, lydbølger og månens faser. Hver af disse, når de er tegnet på koordinatplanet, skaber et gentagende mønster på det samme interval, hvilket gør det let at forudsige. . Med andre ord, det er afstanden langs x-aksen, som funktionen skal køre inden den begynder at gentage sit mønster. De grundlæggende sinus- og kosinusfunktioner har en periode på 2π, mens tangenten har en periode på π.

En anden måde at forstå periode og gentagelse for triggefunktioner er at tænke på dem i form af enhedskredsen. I enhedscirklen går værdier rundt og omkring cirklen, når de øges i størrelse. Denne gentagne bevægelse er den samme idé, der afspejles i det faste mønster af en periodisk funktion. Og for sinus og cosinus skal du foretage en fuld sti rundt i cirklen (2π), før værdierne begynder at gentage.
Ligning for en periodisk funktion

En periodisk funktion kan også defineres som en ligning med denne form:

f (x + nP) \u003d f (x)

Hvor P er perioden (en ikke-konstant konstant) og n er et positivt heltal.

For eksempel kan du skrive sinusfunktionen på denne måde:

sin (x + 2π) \u003d sin (x)

n \u003d 1 i dette tilfælde, og perioden, P, for en sinusfunktion er 2π.

Test den ved at prøve et par værdier for x, eller se på grafen: Vælg en hvilken som helst x-værdi, og flyt derefter 2π i begge retninger langs x-aksen; y-værdien skal forblive den samme.

Prøv det nu, når n \u003d 2:

sin (x + 2 (2π)) \u003d sin (x)

sin (x + 4π) \u003d sin (x).

Beregn for forskellige værdier på x: x \u003d 0, x \u003d π, x \u003d π /2, eller kontroller det på grafen.

Cotangentfunktionen følger de samme regler, men dens periode er π radianer i stedet for 2π radianer, så dens graf og dens ligning ser sådan ud:

barneseng (x + nπ) \u003d barneseng (x)

Bemærk, at tangent- og cotangentfunktioner er periodiske, men de er ikke kontinuerlige: Der er "pauser" i deres grafer.