Sådan finder du afstanden mellem to punkter på en Curve

Mange elever har svært ved at finde afstanden mellem to punkter på en lige linje, det er mere udfordrende for dem, når de skal finde afstanden mellem to punkter langs en kurve. Denne artikel viser ved hjælp af et eksempel et problem, hvordan man finder denne afstand.

For at finde afstanden mellem to punkter A (x1, y1) og B (x2, y2) på en lige linje på xy-plan bruger vi Afstandsformlen, som er ... d (AB) = √ [(x1-y1) ^ 2 + (x2-y2) ^ 2]. Vi vil nu vise, hvordan denne formel fungerer ved et eksempel problem. Klik på billedet for at se hvordan dette gøres.

Nu finder vi afstanden mellem to punkter A og B på en kurve defineret af en funktion f (x) på et lukket interval [a, b] . For at finde denne afstand skal vi bruge formlen s = Integralet, mellem den nederste grænse, a og den øvre grænse b af integrand √ (1 + [f '(x)] ^ 2) med hensyn til variabel af integration, dx. Klik på billedet for at få et bedre billede.

Funktionen, som vi vil bruge som et eksempel på problemet, over det lukkede interval [1,3], er ... f (x) = (1 /2) [(x + 4) √ [(x + 4) ^ 2-1] -ln [(x + 4) + √ [(x + 4) ^ 2-1]]]. derivatet af denne funktion er ... f '(x) = √ [(x + 4) ^ 2-1], vil vi nu kvadre begge sider af derivatets funktion. Det er [f '(x)] ^ 2 = [√ [(x + 4) ^ 2-1]] ^ 2, hvilket giver os [f' (x)] ^ 2 = (x + 4) ^ 2 - 1. Vi erstatter nu dette udtryk i buenlængdeformlen /Integral of, s. Integrer derefter.

Klik på billedet for at få en bedre forståelse.

Ved substitution har vi følgende: s = Integralet mellem den nederste grænse, 1 og den øvre grænse , 3, af integanden √ (1 + [f '(x)] ^ 2) = integanden √ (1 + (x + 4) ^ 2 - 1). som er lig med √ ((x + 4) ^ 2). Ved at udføre antivivativet på denne Integrand og ved Grundlæggende Theorem of Calculus får vi ... {[(x ^ 2) /2] + 4x}, hvor vi først erstatter den øvre grænse 3 og fra dette resultat, Vi subtraherer resultatet af substitutionen af ​​den nedre grænse, 1. Det er {[(3 ^ 2/2] + 4 (3)} - {[(1 ^ 2) /2] + 4 (1)} er lig med {[(9/2) + 12]} - {[(1/2) + 4]} = {(33/2) - (9/2)} som er lig med (24/2) = 12. Så Arklængden /afstanden af ​​funktionen /kurven over intervallet [1,3] er 12 enheder.