Hvad er det er indeholdt?

I lineær algebra, determinant Af en firkantet matrix er en skalær værdi, der giver information om Matrix's egenskaber og opførsel. Det betegnes med det (a) eller | a | , hvor A er matrixen.

Egenskaber ved determinanter:

* Scalar multiplikation: Determinanten af ​​et skalarmultiplum af en matrix er lig med den skalar, der er hævet til kraften i matrixens orden ganget med determinanten af ​​den originale matrix:det (ka) =k^n det (a), hvor n er matrixens rækkefølge.

* transponere: Determinanten af ​​en matrix er lig med determinanten for dens transponering:det (a) =det (a^t).

* række/kolonneoperationer: Elementær række eller kolonneoperationer på en matrix påvirker determinanten som følger:

* At bytte to rækker/kolonner ændrer tegn på determinanten.

* Multiplikation af en række/søjle med en skalar multiplicerer determinanten med den skalar.

* Tilføjelse af et multiplum af en række/kolonne til en anden række/kolonne ændrer ikke determinanten.

* invertible matrixer: En firkantet matrix er invertibel, hvis og kun hvis dens determinant er ikke-nul.

* lineær afhængighed: Hvis rækkerne eller søjlerne i en matrix er lineært afhængige, er dens determinant nul.

Beregning af determinanter:

* for 2x2 matrixer:

det ([[a, b], [c, d]]) =ad - bc

* for 3x3 matrixer:

det ([[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]) =a (ei - fh) - b (di - fg) + c (dh - f.eks.)

* for større matrixer:

Determinanter for større matrixer kan beregnes ved hjælp af forskellige metoder, såsom cofaktorudvidelse, gaussisk eliminering eller ved hjælp af specialiserede algoritmer.

Anvendelser af determinanter:

* Løsning af lineære ligninger: Determinanter bruges i Cramer's regel til at løse systemer med lineære ligninger.

* Find egenværdier: Determinanter bruges til at finde egenværdier af en matrix.

* Beregning af områder og volumener: Determinanter kan bruges til at beregne området for et parallelogram og volumenet af en parallelepiped.

* Geometriske transformationer: Determinanter bruges i geometri til at repræsentere skaleringsfaktoren for lineære transformationer.

Eksempel:

Overvej matrixen A =[[2, 1], [3, 4]].

Determinanten for A er:

det (a) =(2 * 4) - (1 * 3) =8 - 3 =5.

Da determinanten er ikke-nul, er matrix A invertible.