Et matematisk bevis er ikke bare en intellektuel øvelse

Hvordan beviser man noget? Hvad er overhovedet bevis?

I videnskaben, ordet "bevis" bruges sjældent og med stor omhu. Forskere accepterer, at den naturlige verden er fuld af overraskelser, og hvad der ser ud til at være sandt, kan have undtagelser.

I domstolene, bevis inkluderer ofte en advarsel, såsom "på sandsynlighedsbalancen" for civile sager, og "ud over enhver rimelig tvivl" for straffesager.

Men til matematikere som University of Melbournes Dr. Nick Beaton, Professor Jan de Gier og professor Tony Guttmann, "ud over enhver rimelig tvivl" er simpelthen ikke godt nok. Til dem, et matematisk bevis er "uden for enhver tvivl" - og det er en skønhed.

Overvej Pythagoras' sætning.

Vi lærer alle i skolen, at kvadratet på den længste side af en retvinklet trekant er summen af ​​kvadraterne på de to andre sider. Du kan teste dette med et stykke papir, en lineal og en lommeregner, og du vil se, at det er sandt.

Du kan gøre dette for tusind trekanter, og du vil se, at det er sandt for hver eneste af disse tusind trekanter.

Men virker Pythagoras' sætning for enhver mulig retvinklet trekant?

Du kan ikke måle alle retvinklede trekanter, der findes, så lineal- og lommeregnermetoden kan ikke endegyldigt bevise, at Pythagoras har ret.

"Du laver en masse simuleringer, og du observerer en bestemt ting numerisk, og hvis du observerer det igen og igen og igen, ville du tro, at det nok altid er tilfældet, eller det er sandt, " siger Dr. Nick Beaton.

"Men det er ikke helt det samme som at have et matematisk bevis, hvor man faktisk logisk kan vise, at en bestemt ting altid sker ved bestemte værdier af parametrene."

Uden et formelt matematisk bevis, vi kalder noget som Pythagoras' sætning en formodning.

Professor De Gier siger, at en formodning i matematik er et resultat, som alle mener er sandt.

"Men det er ikke blevet bevist logisk i en streng forstand, " han siger.

"Så, der kan være mange numeriske beviser, og der kan være stærke og overbevisende argumenter, men de etablerer ikke en sandhed uden tvivl.

"Et godt eksempel er Riemann-hypotesen om zeta-funktionens nuller, som er blevet tjekket for de første 10, 000, 000, 000, 000 (ti billioner) sager. Et bevis på, at det er sandt for enhver sag, mangler stadig og er en million dollars værd, " siger professor De Gier.

"At bevise det ville kaste lys over mange af mysterierne omkring fordelingen af ​​primtal."

"Og nogle gange ser noget meget overbevisende ud, men så er det vist, når du borer ned til de fine detaljer, at det faktisk ikke holder, og der kan være undtagelser.«

Wikipedia har endda en kategori for "modbeviste formodninger" - nogle, ligesom Eulers formodning, stået i hundreder af år, før de blev modbevist.

I tilfældet med Pythagoras' sætning, imidlertid, beviset har været med os i tusinder af år. Faktisk, Pythagoras opfandt ikke formlen, det var kendt længe før hans tid. Han kom med det første kendte bevis.

Pythagoras' bevis bruger det ubestridelige faktum, at enhver retvinklet trekant kan repræsenteres af to kvadrater, den ene inde i den anden, med hjørnerne af den indre firkant, der rører kanten af ​​den ydre.

Det indre kvadrat har sider af længden c (den faktiske længde betyder ikke noget, fordi c kan være et hvilket som helst positivt tal), det ydre kvadrat har længden a+b, og trekanten den laver har sidelængder a, b og c (som vist).

Ændring af vinklen på det indre kvadrat ændrer længden af ​​alle tre værdier.

Pythagoras viste, at ved at omarrangere trekanter inde i firkanten, det hvide område, repræsenteret ved c² i ovenstående diagram, bliver til to firkanter, en med areal a² og en med areal b². Derfor, c² er altid, uanset hvilke dimensioner du bruger, lig med a²+b².

Siden Pythagoras, matematikere gennem tiderne har fortsat med at finde beviser for sætningen. I 1940, Den amerikanske matematiker Elisha Scott Loomis udgav en samling af beviser for Pythagoras' sætning.

University of Melbourne-teamet er ikke fremmed for beviser.

Australian Mathematical Society tildelte 2018 Gavin Brown-prisen for bedste papir til Dr. Beaton, Professor de Gier og Professor Guttman, sammen med Mireille Bousquet-Mélou fra Université de Bordeaux i Frankrig og Hugo Duminil-Copin fra Université de Genève i Schweiz, for et matematisk bevis i 2015 på eksistensen og den kritiske overfladespænding for adsorption af polymerer (langkædede molekyler) i opløsning.

Holdet brugte en matematisk repræsentation af en polymer, kaldet en "selvundgående gåtur, " som er objekter, der bruges i en gren af ​​matematisk fysik kaldet statistisk mekanik.

"En selvundgående gåtur er en tur på et gitter - ret ofte et firkantet gitter eller et bikagegitter - hvor du ikke kan gå tilbage til nogen af ​​de trin, du har taget, " siger professor Guttmann.

"Du kan tænke på en gåtur som en enkelt polymer, med tilfældige egenskaber."

Dr. Beaton siger, at tit, at finde et matematisk bevis for en formodning er lang, vanskelig proces, involverer trial-and-error, gryntearbejde og lejlighedsvis eureka-øjeblik.

For Pythagoras, eureka-momentet var kvadrat-i-kvadrat-repræsentationen af ​​trekanten; for Melbourne-teamet og deres kolleger, det var at finde den bedste måde at matematisk håndtere tilfældighederne på.

"Folk prøvede et par ting, da det først blev formodet, men ingen gjorde meget fremskridt, så det var klart, der var brug for en ny idé, men hvad den nye idé skulle være var ikke indlysende, " siger professor De Gier.

Efter at have fulgt nogle blindgyder, holdet fokuserede på en ny idé i matematik forbundet med gittermodeller, kaldet "diskret holomorfiitet, ", som blev populært af den russiske forsker professor Stanislav Smirnov, der vandt Fields-medaljen for fremragende opdagelser i matematik i 2010.

Ved at bruge denne nye form for matematik, Melbourne-teamet fandt ud af, at honeycomb-gitteret var den rigtige indstilling til at bevise deres polymerproblem.

"Af en eller anden grund, matematikken om selvundgående gåture på et bikagegitter fungerede fint, " siger professor de Gier.

"Hvis du vil gøre dette på et firkantet gitter, det virker ikke, men for andre problemer, det firkantede gitter ville være bedre."

Professor de Gier siger, at et matematisk bevis ikke kun er en intellektuel øvelse, det kan fortælle os grundlæggende ting om naturen.

"At vide, at noget sker, eller hvor det sker, er interessant, men at have det logiske ræsonnement er mere interessant, fordi det giver et indblik i, hvorfor tingene sker, som de gør."