Beviser en langvarig formodning om området med negativt buede rum

Johns Hopkins matematiker Joel Spruck og en kollega for nylig lykkedes med at bevise en langvarig formodning om området med negativt buede rum, såsom blomsterblade eller koralrev, en årelang bestræbelse fuld uventede forhindringer og søvnløse nætter.

I omkring 900 f.Kr. den fønikiske prinsesse Dido – væltet af sin hensynsløse bror – flygtede til Afrika for at købe jord til sig selv og sine tilhængere. Som fortalt i Virgil's Aeneid , Kong Jarbas tilbød hende så meget jord, hun kunne omslutte med et oksehud.

Den smarte Dido skar skindet i ekstremt tynde strimler. Placer dem ende mod ende, og bruge Middelhavet som en kant, hun dannede en cirkel, der var så stor, som hendes snor overhovedet kunne tillade – og rigelig stor nok til grundlaget for det, der skulle blive byen Kartago.

"Dronning Didos problem, som det er kendt, er i begyndelsen af ​​mange fag, " bemærker Johns Hopkins matematiker Joel Spruck. Fra en af ​​bunkerne af bøger og papirer, der dækker hans skrivebord i Krieger Hall, alt belagt med en fin tåge af kridtstøv, han henter en bog - delvis matematisk teori, del kunstbog - med titlen The Parsimonious Universe, som dækker emner som form og form, gammel videnskab, og konceptet med optimalt design. Åbner bogen til en illustration af Didos territorium, han forklarer, at problemet er relateret til et væld af foretrukne matematiske gåder, lige fra hvor muslingeskaller får deres form til måden planter vokser på, til hvorfor sæbebobler dannes som de gør.

"Der er mange mulige former, og naturen vælger den, der bruger mindst energi, " siger Spruck. Det følger heraf, at den form, der omslutter et givet område med den mindst mulige omkreds, er cirklen - eller, vove sig ind i tre dimensioner, kuglen.

Simpelt nok. Men tingene bliver sværere, når du vil generalisere denne idé ud over cirkler og sfærer til mere komplicerede situationer. For nylig, Spruck og en kollega tog den udfordring op og lykkedes med at bevise en langvarig formodning om, at det samme princip ville gælde for andre geometrier. Beviset er et vigtigt skridt for matematisk fysik - som går tilbage til det 17. eller 18. århundrede - fordi det er et problem, der forbinder med mange andre problemer.

"Det er kernen i en stor del af det 20. århundredes matematik, ikke kun på det felt, men på beslægtede områder, " siger Spruck, den J.J. Sylvester Professor i Matematisk Institut ved universitetets Krieger School of Arts and Sciences.

Det er også det seneste indlæg i en række af beviser for Cartan-Hadamard-formodningen, opkaldt efter det tidlige 20. århundredes matematikere, der først fremsatte ideen. Tilbage i 1926, formodningen blev bevist for to dimensioner. I 1984, det blev bevist for fire dimensioner, og for tre i 1992. "Så lavede vi alle de andre dimensioner, " siger Spruck. Øjeblikke efter at have sat sig ned for at forklare, Spruck springer op igen - en stav kridt dukker pludselig op i hans hånd - og begynder at dække sin tavle på kontoret med ligninger og buede former. Udfordringen, forklarer han, var, at mens formodningen var relativt ligetil - hvis du er handy med matematik - i det, der er kendt som det euklidiske rum, tingene blev mere komplicerede, sige, negativt buet rum.

Negativt buet rum, Spruck fortsætter tålmodigt, er som en sadelflade i stedet for en kugle. Det omfatter mere areal på mindre plads. Tænk på blomsterblade eller koralrev. Universet kan være negativt buet - vi ved det ikke med sikkerhed.

Negativt buede rum uden grænser kaldes Cartan-Hadamard-manifolder, og det er her Spruck og hans kollega beviste formodningen i alle dimensioner. De annoncerede deres bevis med et indlæg på ArXiv (udtales "arkiv"), en online, open-access platform, hvor det meste moderne matematik foregår. Mange matematikere tjekker webstedet dagligt for at holde sig på forkant med de nyeste teknikker.

Beviset fyldte omkring 80 sider med tekst og figurer. "Det var svært, fordi vi skulle opfinde alt; teknikkerne og ting, de eksisterede ikke, " siger Spruck. Han havde været nysgerrig efter problemet i lang tid, og inviterede en tidligere elev, Mohammad Ghomi, at tackle det med ham. Ghomi, en specialist i klassisk geometri, der modtog sin ph.d. fra Hopkins i 1998, er professor ved Georgia Tech's School of Mathematics. Deres viste sig at være en historie om matematisk dramatisk redning fra nær døden.

Spruck havde en idé, men han syntes, det var yderst risikabelt og muligvis "vanvittigt". "Matematik handler om at gøre din idé konkret:At tage intuitionen og gøre den til noget meget stringent, " siger Spruck. "Så vi ville prøve at skrive stykker af planen op, men der var modstridende tekniske problemer."

Da der gik halvandet år, de to krydsede forhindring efter forhindring. De kommunikerede via e-mail – flere tusinde af dem – mens Spruck tilbragte søvnløse nætter på sin sofa med et papirblok. At nå frem til en lykkelig konklusion var langt fra en selvfølge. Ved en stor anstødssten bestående af ting, der kaldes "niveausæt" og "forgrenende snefnug, "De sejrede til sidst på grund af en sætning fra en helt anden gren af ​​matematikken.

"Dette var ret følelsesmæssigt svært, " siger Spruck. "Vi døde tusinde gange og levede så. Du har følelsen af, at guderne på en eller anden måde reddede dig."

Denne proces med idé-formodning-idé-bevis afspejler den typiske udvikling af fremskridt i matematik. Folk har indsigt i et bestemt problem, og selvom der ikke er bevis nok til at bevise det, de formulerer, hvad de mener er sandt. De deler det og får øjeblikkelig feedback fra et stort samfund af andre matematikere, som udfordrer hinanden og finpudser ideen. "Det er derfor, tingene går så hurtigt i matematik sammenlignet med andre felter, " påpeger Spruck.

Derefter, om uger eller årtier senere, en anden beviser formodningen, som så bliver til en sætning. Samfundet hopper også på den nye viden, anvender det til deres egne specialer. Navnene på formoderne og beviserne forbliver permanent knyttet til deres resultater.

Vil det være, hvad Spruck og Ghomi huskes i 100 år fra nu? "Det bliver måske sagen. Jeg er rigtig glad for det her, "Spruck tillader det.

Trods al dens konkrethed, når den når bevisstadiet, matematikprocessen forbliver bemærkelsesværdig mystisk. Spruck siger, at han normalt starter med en vis intuition om et problem. Han begynder at krible som en måde at fokusere sit sind på, så begynder ideer gradvist at dukke op, som hans underbevidsthed har arbejdet på, og så skal han finde ud af at gøre dem håndgribelige. "Eleverne har frygteligt svært ved den del:"Hvad skal jeg skrive ned?", siger Spruck.

For Spruck, at lave matematik ligner at male - han oplever begge dele som en form for meditation. To af hans egne lærreder pryder hans kontor.

"Du kommer i et bestemt rum, " siger han. "Når du virkelig tænker over tingene, det er som at være i en meditativ tilstand. Timer og timer går, og du er ikke engang klar over det.

"Du tager et tomt lærred, du har visse grundlæggende regler, men det hele er åbent. Og den anden ting, der er ligesom med maleri, eller noget andet, er at elske udfordringerne. Det er ikke, om du lykkes i øjeblikket; det er at elske processen med at blive fortabt i det."