Matematiker forenkler metoder til løsning af ligninger for magnetisk hydrodynamik

En matematiker fra RUDN University har fundet et nyt kriterium for regelmæssigheden af ​​generaliserede løsninger af ligningerne for magnetisk hydrodynamik for en inkompressibel væske i tredimensionelt rum. Brugen af ​​dette kriterium forenkler søgen efter løsninger til sådanne ligninger og kan hjælpe metallurger med at modellere adfærden af ​​smeltet metal, samt astrofysikere til at beskrive stjerneplasma. Artiklen blev publiceret i Journal of Mathematical Analysis and Applications .

Magnethydrodynamikkens ligningssystem beskriver opførselen af ​​enhver elektrisk ledende væske (smeltet metal, elektrolytter) eller plasma i nærvær af et magnetfelt, og består af to differentialligninger, der relaterer magnetfeltet til hastighedsfeltet. Løsningerne til disse systemer kan opdeles i to typer:klassiske og generaliserede (løsninger, hvor differentieringsbetingelsen ikke er pålagt). I modsætning til klassiske løsninger, generaliserede skal kontrolleres for regelmæssighed (jævnhed). Matematikere udfører en sådan kontrol ved hjælp af kriterierne for regelmæssighed.

Maria Alessandra Ragusa fra RUDN University og hendes kolleger fandt ud af, at systemets ligninger kan reduceres til et par ligninger af lignende form. Hvis du bytter de ukendte, den første ligning bliver den anden, og omvendt. Dette resultat kan opnås ved at overføre variabler. En kombination af de ønskede felter vælges som nye variable:deres sum og forskel. Systemet bliver symmetrisk med hensyn til dets nye ubekendte. Det betyder, at variablerne kan byttes uden at ændre løsningen. Denne tilgang forenkler at finde svaret:i stedet for to forskellige ligninger, et par ens er løst.

Professor Ragusa udviklede et regularitetskriterium for generaliserede løsninger til det nye system. Det udtrykkes i partielle derivater af kombinationer (sum og forskel) af hastighedsfeltet og magnetfeltet. Kriteriet består af to lige store betingelser:for at løsningen har egenskaben regularitet, det er nok, at mindst en af ​​dem er opfyldt. Efter at løsningerne til det nye system er fundet og kontrolleret for regelmæssighed, overgangen fra de nye koordinater til de ønskede felter bliver let.

Kriteriet siger, at løsningerne er glatte, hvis skalarproduktet af de partielle derivater af disse opløsninger tilhører Lebesgue-rummet med den givne betingelse.

For at bevise gyldigheden af ​​kriteriet, Professor Ragusa og hendes kolleger stolede på Ni, Guo, og Zhou-kriteriet. Ved at bruge integrale estimater, hun formåede at vise, at ud fra betingelsen for opfyldelsen af ​​hendes kriterium, opfyldelsen af ​​Ni, Guo, og Zhou-kriterium, som allerede er bevist, følger nøje, hvilket betyder at løsningen er regulær.

Kriteriet fundet af Ragusa og hendes kolleger er vigtigt, fordi kun almindelige (glatte) løsninger er egnede til at beskrive fysiske processer. Kun de beskriver korrekt adfærden af ​​den undersøgte væske eller plasma.

Brugen af ​​dette kriterium vil lette arbejdet for metallurger, der har brug for at simulere adfærden af ​​smeltet metal:mange operationer i smeltning af metaller udføres ved at udsætte det flydende metal for et vekslende magnetfelt. For en nøjagtig beskrivelse af sådanne processer, det er nødvendigt at søge efter glatte løsninger til ligningssystemerne for magnetisk hydrodynamik. Stjerneplasma, som kan betragtes som et kontinuerligt medie, er også styret af ligningerne for magnetisk hydrodynamik. Nye løsninger til systemerne i disse ligninger vil give astrofysikere mulighed for at lære mere om plasmaadfærd inde i stjerner.