Matematikere løser et gammelt geometriproblem på ensvinklede linjer

Ensvinklede linjer er linjer i rummet, der går gennem et enkelt punkt, og hvis parvise vinkler alle er lige store. Billed i 2D de tre diagonaler af en regulær sekskant, og i 3D, de seks linjer, der forbinder modsatte hjørner af et regulært icosahedron. Matematikere er ikke begrænset til tre dimensioner, imidlertid.

"I høje dimensioner, tingene bliver virkelig interessante, og mulighederne kan virke ubegrænsede, " siger Yufei Zhao, adjunkt i matematik.

Men de er ikke grænseløse, ifølge Zhao og hans team af MIT matematikere, som søgte at løse dette problem på geometrien af ​​linjer i højdimensionelt rum. Det er et problem, som forskere har undret sig over i mindst 70 år.

Deres gennembrud bestemmer det maksimalt mulige antal linjer, der kan placeres, så linjerne er parvist adskilt af den samme givne vinkel. Zhao skrev papiret med en gruppe MIT-forskere bestående af studerende Yuan Yao og Shengtong Zhang, Ph.D. studerende Jonathan Tidor, og postdoc Zilin Jiang. (Yao startede for nylig som MIT matematik Ph.D.-studerende, og Jiang er nu fakultetsmedlem ved Arizona State University). Deres papir vil blive offentliggjort i januar 2022-udgaven af Annals of Mathematics .

Matematikken for ensvinklede linjer kan kodes ved hjælp af grafteori. Papiret giver ny indsigt i et område af matematik kendt som spektralgrafteori, som giver matematiske værktøjer til at studere netværk. Spektralgrafteori har ført til vigtige algoritmer inden for datalogi, såsom Googles PageRank-algoritme til sin søgemaskine.

Denne nye forståelse af ensvinklede linjer har potentielle implikationer for kodning og kommunikation. Ensvinklede linjer er eksempler på "sfæriske koder, "som er vigtige værktøjer i informationsteori, giver forskellige parter mulighed for at sende beskeder til hinanden via en støjende kommunikationskanal, som dem, der sendes mellem NASA og dets Mars-rovere.

Problemet med at studere det maksimale antal ligekantede linjer med en given vinkel blev introduceret i et papir fra 1973 af P.W.H. Lemmens og J.J. Seidel.

"Dette er et smukt resultat, der giver et overraskende skarpt svar på et velundersøgt problem inden for ekstrem geometri, som fik en betydelig opmærksomhed allerede i 60'erne, " siger professor i matematik ved Princeton Universiry Noga Alon.

Det nye arbejde fra MIT-teamet giver, hvad Zhao kalder "en tilfredsstillende løsning på dette problem."

"Der var nogle gode ideer på det tidspunkt, men så sad folk fast i næsten tre årtier, " siger Zhao. Der var nogle vigtige fremskridt for et par år siden af ​​et team af forskere, herunder Benny Sudakov, professor i matematik ved Swiss Federal Institute of Technology (ETH) Zürich. Zhao var vært for Sudakovs besøg på MIT i februar 2018, da Sudakov talte i kombinatorisk forskningsseminar om sit arbejde med ligekantede linjer.

Jiang blev inspireret til at arbejde med problemet med ligekantede linjer baseret på arbejdet fra hans tidligere ph.d. rådgiver Bukh Boris ved Carnegie Mellon University. Jiang og Zhao slog sig sammen i sommeren 2019, og fik selskab af Tidor, Yao, og Zhang. "Jeg ville finde et godt sommerforskningsprojekt, og jeg troede, at dette var et stort problem at arbejde på, " Zhao forklarer. "Jeg troede, vi kunne gøre nogle pæne fremskridt, men det var helt klart over mine forventninger at løse hele problemet fuldstændigt."

Forskningen blev delvist støttet af Alfred P. Sloan Foundation og National Science Foundation. Yao og Zhang deltog i forskningen gennem Institut for Matematik' Sommerprogram for Undergraduate Research (SPUR), og Tidor var deres studerende mentor. Deres resultater havde givet dem matematikafdelingens Hartley Rogers Jr.-pris for den bedste SPUR-opgave.

"Det er et af de mest succesrige resultater af SPUR-programmet, " siger Zhao. "Det er ikke hver dag, at et langvarigt åbent problem bliver løst."

Et af de vigtigste matematiske værktøjer, der bruges i løsningen, er kendt som spektralgrafteori. Spektralgrafteori fortæller os, hvordan man bruger værktøjer fra lineær algebra til at forstå grafer og netværk. En grafs "spektrum" fås ved at lave en graf om til en matrix og se på dens egenværdier.

"Det er, som om du kaster en intens lysstråle på en graf og derefter undersøger spektret af farver, der kommer ud, " Zhao forklarer. "Vi fandt ud af, at det udsendte spektrum aldrig kan være for stærkt koncentreret nær toppen. Det viser sig, at denne grundlæggende kendsgerning om grafernes spektre aldrig er blevet observeret."

Værket giver en ny sætning i spektralgrafteori - at en afgrænset gradgraf skal have sublineær anden egenværdi-multiplicitet. Beviset kræver smarte indsigter, der relaterer spektret af en graf med spektret af små stykker af grafen.

"Beviset fungerede rent og smukt, " siger Zhao. "Vi havde det så sjovt at arbejde på dette problem sammen."