Sådan slipper du af med en firkantet rod i en ligning

Når du først lærte om kvadratiske tal som 3 ^{2, 5 2 og x
2, lærte du sandsynligvis om et kvadratnummers inverse operation, kvadratroten også. Det omvendte forhold mellem kvadratnummer og firkantede rødder er vigtigt, fordi det på almindeligt engelsk betyder, at den ene operation fortryder virkningen af den anden. Det betyder, at hvis du har en ligning med firkantede rødder, kan du bruge "kvadrering" -funktionen eller eksponenter til at fjerne firkantede rødder. Men der er nogle regler for, hvordan man gør dette sammen med den potentielle fælde af falske løsninger.}

TL; DR (for lang; læste ikke)

At løse en ligning med en kvadratrod i den, isoler først kvadratroden på den ene side af ligningen. Derefter firkantes begge sider af ligningen, og fortsæt med at løse variablen. Glem ikke at kontrollere dit arbejde i slutningen.
Et simpelt eksempel

Før du overvejer nogle af de potentielle "fælder" ved at løse en ligning med firkantede rødder i den, skal du overveje et simpelt eksempel: Løs ligning √ x
+ 1 \u003d 5 for x
.

1. Isoler kvadratroten
   
   

   Brug aritmetiske operationer som tilføjelse, subtraktion, multiplikation og opdeling for at isolere kvadratrotudtrykket på den ene side af ligningen. For eksempel, hvis din oprindelige ligning var √ x
   + 1 \u003d 5, ville du trække 1 fra begge sider af ligningen for at få følgende:
   

   √ x
   \u003d 4
   

2. Firkant af begge sider af ligningen
   
   

   Ved at kvadre begge sider af ligningen fjernes kvadratrodets tegn. Dette giver dig:
   

   (√ x
   ) ^{2 \u003d (4) 2}
   

   Eller en gang forenklet:
   

   < em> x
   \u003d 16
   

   Du har fjernet firkantet rodtegn og du har en værdi for x
   , så dit arbejde her er gjort. Men vent, der er endnu et trin:
   

3. Kontroller dit arbejde
   
   

   Kontroller dit arbejde ved at erstatte x
   -værdien, du fandt i den originale ligning:
   

   √16 + 1 \u003d 5
   

   Forenkle derefter:
   

   4 + 1 \u003d 5
   

   Og til sidst:
   

   5 \u003d 5
   

   Fordi dette returnerede en gyldig erklæring (5 \u003d 5, i modsætning til en ugyldig erklæring som 3 \u003d 4 eller 2 \u003d -2, er løsningen, du fandt i trin 2, gyldig. I dette eksempel virker det, at du kontrollerer dit arbejde trivielt Men denne metode til eliminering af radikaler kan undertiden skabe "falske" svar, der ikke fungerer i den oprindelige ligning. Så det er bedst at komme i vane med altid at kontrollere dine svar for at sikre, at de returnerer et gyldigt resultat, startende nu.
   
   Et lidt hårdere eksempel
   

   Hvad nu hvis du har et mere komplekst udtryk under det radikale (firkantede rod) -tegn? Overvej følgende ligning. Du kan stadig anvende den samme proces, der blev brugt i det forrige eksempel, men denne ligning fremhæver et par regler, du skal følge lav.
   

   √ ( y
   - 4) + 5 \u003d 29
   

   1. Isoler det radikale
      
      

      Brug som en gang tidligere ligesom tilføjelse, subtraktion, multiplikation og opdeling for at isolere det radikale udtryk på den ene side af ligningen. I dette tilfælde giver subtraktion af 5 fra begge sider:
      

      √ ( y
      - 4) \u003d 24
      
      
      

      Advarsler
      

   2. Bemærk, at du bliver bedt om at isolere kvadratroten (som formodentlig indeholder en variabel, fordi hvis det var en konstant som √9, kunne du bare løse den på stedet; √9 \u003d 3). Du bliver ikke
      bedt om at isolere variablen. Dette trin kommer senere, efter at du har fjernet firkantet rodtegn.
      
      
      

   3. Firkantet begge sider
      
      

      Firkantet af begge sider af ligningen, hvilket giver dig følgende:
      

      [√ ( y
      - 4)] ^{2 \u003d (24) 2}
      

      Som forenkler til:
      

      y
      - 4 \u003d 576
      
      
      

      Advarsler
      

   4. Bemærk, at du skal firkante alt under radikaltegnet, ikke kun variablen.
      
      
      

   5. Isoler variablen
      
      

      Nu, hvor du har fjernet den radikale eller firkantede rod fra ligningen, kan du isolere variablen. For at fortsætte eksemplet giver du 4 ved begge sider af ligningen:
      

      y
      \u003d 580
      

   6. Kontroller dit arbejde -
      

      Som før, kontroller dit arbejde ved at erstatte y
      værdien, du fandt tilbage, i den originale ligning. Dette giver dig:
      

      √ (580 - 4) + 5 \u003d 29
      

      Som forenkler:
      

      √ (576) + 5 \u003d 29
      

      Forenkling af radikalen giver dig:
      

      24 + 5 \u003d 29
      

      Og til sidst:
      

      29 \u003d 29, en sand erklæring, der angiver et gyldigt resultat.