Mestring af den kvadratiske formel:En trin-for-trin guide

LightFieldStudios/iStock/GettyImages

En andengradsligning indeholder en enkelt variabel hævet til anden potens. I sin standardform er det udtrykt som ax ² + bx + c =0, hvor a , b og c er konstanter. I modsætning til lineære ligninger har en andengradsligning altid to løsninger, som kan findes ved hjælp af en af ​​tre metoder:faktorisering, udfyldning af kvadratet eller andengradsformlen. Den andengradsformel giver en universel løsning, der kan anvendes til enhver andengradsligning.

Kvadratisk formel

For den generelle andengradsligning ax ² + bx + c =0, er løsningerne givet ved:

\(x =\frac{−b \pm \sqrt{b^2 − 4ac}}{2a}\)

"±" angiver to forskellige løsninger:den ene bruger plustegnet og den anden med minustegnet.

Anvendelse af den kvadratiske formel

Før du anvender formlen, skal du sikre dig, at ligningen er i standardform. Hvis termer vises på begge sider af ligningen, skal du bringe dem til den ene side og kombinere lignende udtryk.

Eksempel:Løs 3x² – 12 =2x(x – 1)

Trin 1:Konverter til standardformular

Udvid parenteserne:
3x² – 12 =2x² – 2x

Flyt alle udtryk til venstre:
3x² – 2x² + 2x – 12 =0

Kombiner lignende udtryk:
x² + 2x – 12 =0

Nu er ligningen i formen ax ² + bx + c =0 med a =1, b =2, c =–12.

Trin 2:Slut a, b og c til formlen

\(x =\frac{−2 \pm \sqrt{2^2 − 4\times1\times(−12)}}{2\times1}\)

Trin 3:Forenkling

Beregn diskriminanten:4 + 48 =52
\(x =\frac{−2 \pm \sqrt{52}}{2}\)
Siden \(\sqrt{52} \ca. 7.21\), har vi:
\(x =\frac{−2 + 7,21}{2} \ca. 2,61\)
\(x =\frac{−2 − 7,21}{2} \ca. −4,61\)

Løsningerne er således x ≈ 2,61 og x ≈ –4,61.

Andre metoder til løsning af kvadrater

Factoring

Faktorering fungerer bedst for simple ligninger, hvor to heltal ganges til c og føj til b . Det bliver udfordrende, når der er tale om brøktal eller irrationelle tal.

Fuldførelse af kvadratet

Hvis ligningen er på standardform, skal du isolere de kvadratiske og lineære led og derefter tilføje (b/2)² til begge sider for at transformere venstre side til et perfekt kvadrat:

\(x^2 + bx + (b/2)^2 =(x + b/2)^2\)

Bagefter skal du løse for x ved at tage kvadratrødder af begge sider.

Selvom begge metoder er værdifulde, forbliver den kvadratiske formel den mest pålidelige teknik for alle kvadrater.