Matematikere beviser et teorem, der ville hjælpe med at beregne vandets bevægelse i porøse bjergarter

Matematikere fra RUDN University har bevist det unikke fortsættelsesteorem for en endimensionel løsning på et diffusionsproblem i fraktioneret orden. Sådanne ligninger bruges, for eksempel, at løse problemer med diffusion af partikler i et porøst medium som nedsivning af grundvand. Resultaterne af matematikernes arbejde kunne føre til en mere præcis analyse af løsninger og deres numeriske simulering. I det generelle tilfælde, der er ingen sådanne fortsættelsessætninger for andre klasser af lignende ligninger. Artiklen blev publiceret i tidsskriftet Brøkregning og anvendt analyse .

Diffusionsligningen er en partiel differentialligning, der beskriver indtrængning af partikler i et medium. Dens løsning er en funktion u af t og x , hvilket giver tætheden af ​​partikler ved punkt x på tidspunktet t . Den endimensionelle diffusionsligning indeholder afledte af u med respekt for t , samt afledte af u med respekt for x og en anden afledt af u med respekt for x .

Den endimensionelle ligning kaldes også varmeledningsligningen:Varmeudbredelse kan betragtes som en form for diffusion. I den endimensionelle fraktionelle diffusionsligning, derivatet af u med respekt for t er erstattet af Caputo-fraktionsderivatet. Hvis den afledte er grænsen for et forhold, derefter den Caputo-brøkafledte af en brøkorden -en er bestemt af integralformel, hvor for heltalsværdier -en der er standardværdier for derivaterne. For den sædvanlige endimensionelle diffusionsligning, en fortsættelsessætning kan bevises[s].[/s] Den siger, at hvis tætheden og fluxen af ​​partikler er nul ved et grænsepunkt over et tidsinterval, så er der ikke diffusion i x og t under overvejelse. Selv en førsteårsstuderende kan forstå beviset for denne erklæring, imidlertid, indtil for nylig, lignende resultater for fraktionsdiffusionsligningen var ukendte.

RUDN University matematiker Masahiro Yamamoto og hans kolleger overvejede den endimensionelle brøkdiffusionsligning for en vilkårlig parameter a med en værdi mellem 0 og 1. Det lykkedes dem at påvise, at der i brøktilfældet også er en fortsættelsessætning, i øvrigt, i samme formulering:hvis tætheden og fluxen af ​​partikler er nul ved et grænsepunkt over et tidsinterval, så diffunderer intet.

Ideen med beviset er denne:Matematikere tager en løsning, se på, hvordan den opfører sig i en fortsættelse, og få derefter et integreret estimat for stigningen af ​​denne løsning, afhængig af parameteren. Det følger af det integrale skøn, at den eneste tilfredsstillende løsning er nulløsningen. Der er ingen kendte lignende estimater for lignende ligninger med brøkafledte.

Den fraktionelle diffusionsligning anvendes i forskellige fysikområder, matematik, og datalogi. For eksempel, denne ligning beskriver diffusionen af ​​partikler i et porøst medium. Sådanne ligninger er med succes blevet brugt til at beskrive adfærden af ​​forureningsemissioner i grundvandet. Et andet anvendelsesområde for sådanne ligninger er billedbehandling.