Matematiker foreslår en metode til at forenkle den matematiske model for stofoverførsel gennem en cellevæg

En matematiker fra RUDN University har foreslået et nyt skema til numerisk løsning af ligninger med brøkpotenser af elliptiske operatorer. Den nye ordning virker hurtigere end de eksisterende, fordi den tager højde for egenskaberne af løsningerne til sådanne ligninger i enkeltpunkter. Resultaterne kan være nyttige til beregning af diffusionsprocesser – f.eks. væskelækage i et porøst medium, overførsel af næringsstoffer gennem en cellevæg, og brud i elastiske materialer. Undersøgelsen blev offentliggjort i Computere og matematik med applikationer .

Den klassiske diffusionsligning er en partiel differentialligning. Det beskriver processen med distribution af et stof i et bestemt miljø. Løsningen til ligningen er en funktion af tiden t og punkt x, som viser koncentrationen u (t, x) af stoffet i punkt x til tidspunkt t. Hvis mediet er homogent, så indeholder diffusionsligningen den første afledede med hensyn til t af u og summen af ​​den anden afledede af u med hensyn til koordinater. Summen kaldes Laplace-operatoren, og bruges i forskellige felter af matematik og fysik, herunder teorien om komplekse funktioner og Schrödinger-ligningen.

Matematiker Petr Vabishchevich, en ansat ved det videnskabelige center for beregningsmetoder i anvendt matematik ved RUDN Universitet, og hans kollega Raimondas Ciegis, Prof. i matematik ved Vilnius Gediminas Tekniske Universitet, Vilnius, Litauen, betragtes som en variant af fraktionsdiffusionsligningen, hvor Laplace-operatoren tages i fraktioneret grad. Graden bestemmes af formlen, hvilket er praktisk set ud fra et teoretisk synspunkt, men helt uegnet til beregninger. I mellemtiden, praktiske beregninger relateret til løsninger er en vigtig opgave for applikationer.

Hvis det er svært at løse en ligning i generel form, matematikere bruger numeriske metoder. Der er flere af dem, der traditionelt bruges til brøkdiffusionsligningen. For eksempel, en af ​​dem antager, at løsningen reduceres til de sekventielle løsninger til flere systemer kaldet lokale. Disse systemer har egenskaben elliptisk, det er, sådanne ligninger ligner diffusionsligninger uden en brøkgrad. Sådanne systemer er godt løst numerisk. Imidlertid, når den omtrentlige løsning på det oprindelige problem som helhed skal "samles" ud fra de opnåede løsninger, brikkerne "passer" ikke altid godt sammen - den opnåede løsning tilnærmer nogle gange løsningen på det oprindelige problem nøjagtigt, og nogle gange er det meget forskelligt.

Petr Vabishchevich og hans kollega valgte en anden vej, reduktion af løsningen af ​​fraktionsdiffusionsligningen til flere lokale systemer. De resulterende systemer havde ikke elliptisk egenskab og var endnu værre, i en vis forstand. I øvrigt, systemet indeholdt funktioner med diskontinuiteter, hvilket normalt betyder lav løselighed for numeriske problemer. Men i dette særlige tilfælde, det viste sig, at det korrekte valg af tidstrinnet til beregningen, sammen med et godt valg af selve systemet, gør det muligt at opnå en numerisk løsning, der ganske nøjagtigt tilnærmer løsningen til det oprindelige problem.

I øvrigt, det ser ud til, at metoden foreslået af RUDN Universitetets matematikere ofte virker hurtigere end dens modstykker. Det skyldes, at overgangen til en tilnærmet løsning sker på sidste trin i den nye ordning. I andre metoder, tilnærmelsen sker i flere faser, hvilket fører til ophobning af regnefejl. Dette sker ikke med den nye metode.

Fraktionsdiffusionsligningerne beskriver den såkaldte anomal diffusion, f.eks., fordelingen af ​​en væske i et porøst medium med diskontinuiteter. Ud over, fraktioneret diffusion beskriver overførslen af ​​næringsstoffer i en celle og i væv generelt. Disse ligninger i generel form er ikke løselige, derfor, videnskabsmænd bruger numeriske tilnærmelser, det er, omtrentlige løsninger. RUDN Universitetets matematikeres nye metode vil i mange tilfælde gøre det muligt at udføre beregninger hurtigere.