Matematikere skaber en metode til at studere egenskaberne af porøse materialer

Matematikere fra RUDN University har studeret egenskaberne af kompositoriske operatorer i rum med blandede Lebesgue-normer. Deres arbejde vil hjælpe med at beskrive diffusionen af ​​væsker i materialer med revner og i porøse materialer. Sådanne rum er også nyttige til at opnå estimater for løsninger til Navier-Stokes-ligningen. Artiklen blev publiceret i Matematiske noter .

Den moderne videnskab om partielle differentialligninger har sin egen teori:sproget for funktionel analyse. Studier af funktionsrum, hvor der søges løsninger til ligninger, begyndte i 1800-tallet og er fortsat til nutiden. I starten matematikere lærte at anvende Fourier teori til løsninger til de enkleste lineære partielle differentialligninger, derefter studerede Banach og Hilbert rum, samt rum med generaliserede funktioner, som i bund og grund er kvantemekanikkens sprog.

Omkring midten af ​​det 20. århundrede, Sobolev-rum blev opdaget; disse indtager nu en af ​​de centrale positioner i teorien om partielle differentialligninger. I løbet af de næste 50 år, de hjalp matematikere med at finde mange løsninger på anvendte problemer, som ikke kan findes i almindelige funktionelle rum.

Tættere på begyndelsen af ​​det 21. århundrede, det blev nødvendigt at finde nye metoder til at studere ikke-lineære partielle differentialligninger, så beregningsmatematik og teorien om integrerbare systemer blev udviklet. Imidlertid, metoder fra disse områder viste sig at være for snævert fokuserede, og behovet for at udvikle sproget er der stadig.

Lebesgue-rum med blandede normer er nogle gange mere universelle og fleksible objekter. Disse rum bestemmes som følger:I rummet af funktioner i flere variable, definere normen ved at gentage Lebesgue-normen. De opstod oprindeligt som en af ​​generaliseringerne af Sobolev-rum og har allerede tiltrukket sig stor interesse fra teoretikere fra flere lande i Europa, samt Kina, Canada og Rusland.

Nikita Evseev og Alexander Menovshchikov fra Mathematical Institute of RUDN University arbejder på en teori om operatører for sådanne rum, som tillader deres anvendelse i anvendte problemer formuleret på sproget med partielle differentialligninger. De frembragte en lang række nye resultater, der beskriver operatørernes egenskaber på sådanne rum:kriterier for operatørernes afgrænsning, egenskaber af integrale operatorer, multiplikationsoperatorer, sammensætningsoperatører, og mange andre. De opnåede også nogle få hjælperesultater, der var nyttige for den videre udvikling af dette område.

"Vores metoder og resultater, vi tror, kan anvendes på evolutionære problemer og differentielle problemer på ikke-cylindriske områder. For eksempel, i (matematisk) biologi, hvor overfladen eller det undersøgte område ændrer sig med tiden, eller i hydrodynamik, for problemer med en variabel grænse, " siger Evseev.

Forskning på dette område er nyttig til at studere Navier-Stokes ligninger, et ligningssystem, der beskriver aero- og hydrodynamik. Lebesgue-rum med blandede normer gør det muligt at evaluere løsninger, hvilken, på tur, gør det muligt at forudsige et fravær af turbulens, for eksempel.

Resultaterne vil også hjælpe med at studere de anvendte problemer i matematisk fysik, der opstår i studiet af porøse materialer og materialer med revner. For eksempel, det vil være muligt teoretisk at forudsige diffusions- og varmeoverførselsmønstret i silicageler, porøse glas, forskellige svampe, og skum, samt i nogle byggematerialer.