Matematikprofessor og studerende går tilfældigt sammen

Nogle mennesker kan lide at gå tilfældige ture gennem skoven, mens andre måske slentrer gennem deres eget kvarter. I matematikkens verden, en tilfældig gåtur er faktisk mere tilfældig end dette; det ville svare til at vende en mønt for at bestemme, hvilken retning du vil tage med hvert skridt.

For nylig, Caltechs Omer Tamuz, professor i økonomi og matematik, sammen med to af hans kandidatstuderende, Joshua Frisch og Pooya Vahidi Ferdowsi, og deres kollega Yair Hartman fra Ben-Gurion University i Israel, løst et mangeårigt matematikproblem relateret til tilfældige gåture. Løsningen blev offentliggjort sidste sommer i tidsskriftet Annals of Mathematics .

"Jeg kan huske, at jeg talte med eleverne om en erkendelse, vi havde angående dette problem, og så næste morgen fandt jeg ud af, at de var blevet oppe til langt ud på natten og fandt ud af det, " siger Tamuz.

"Vi var meget heldige, fordi dette projekt faktisk gav os den løsning, vi ønskede. Det er meget sjældent i et matematikprojekt, " siger Frisch. "Noget i retning af 90 procent af de projekter, du arbejder på, du ikke vil være i stand til at løse. Med omkring 10 pct. du begynder at gøre fremskridt og arbejder meget hårdere. Og selv da, du løser dem ikke altid. En del af det at være matematiker er at vænne sig til fiasko. Nogle gange arbejder man på noget i flere måneder og må give op og gå videre til det næste projekt."

Matematikere forestiller sig tilfældige ture i rum med forskellige dimensioner og geometrier. I den nye undersøgelse, Caltech-holdet forestillede sig tilfældige gåture på "grupper, " som er objekter, der kan have meget forskellige geometrier. For nogle grupper, de tilfældige gåture vil til sidst, efter lang tid er gået, konvergere til en bestemt retning. I de tilfælde, gåturene siges at være stiafhængige, hvilket betyder, at noget, der skete i starten, påvirker resultatet. Eller, med andre ord, noget, der sker tidligt på turen, påvirker, hvor det ender. Men for andre grupper, vandreretningen konvergerer ikke, og deres historie påvirker ikke deres fremtid.

"For en tilfældig proces, er det rigtigt, at på længere sigt, alt vaskes ud, og hvad der end sker, vil ske, uanset hvad der skete tidligere? Eller er der et minde om, hvad der skete før?" spørger Tamuz. "Sig, du har to samfund, og en af ​​dem gør nogle teknologiske fremskridt, mens den anden lider under en naturkatastrofe. Vil disse forskelle fortsætte for evigt, eller vil de til sidst forsvinde, og vi glemmer det, når der først var en fordel? I tilfældige gåture, det har længe været kendt, at der er grupper, der har disse minder, mens i andre grupper er minderne slettet. Men det var ikke rigtig klart, hvilke grupper der har denne egenskab, og hvilke der ikke har - dvs. hvad får en gruppe til at have hukommelse? Det er, hvad vi fandt ud af."

Løsningen, siger Tamuz, havde at gøre med at finde en "geometrisk måde at beskrive en algebraisk egenskab for grupperne på." For at forstå essensen af ​​dette, tænk på en cirkel. Du kan beskrive cirklen geometrisk (som mængden af ​​alle punkter i en given afstand fra et punkt), eller du kan beskrive det med en algebraisk ligning. I tilfælde af tilfældig gang-problemet, matematikerne fandt en ny måde at tænke på sammenhængen mellem de geometriske og algebraiske egenskaber ved de grupper, de studerede.

"Vi var faktisk chokerede over, hvor nemt det var at løse problemet, når vi fandt ud af denne forbindelse, " siger Ferdowsi, der forklarer, at selvom løsningen "bare flød ud, "holdet stod over for en "betydelig" forsinkelse, mens han var i sit hjemland Iran og ude af stand til at få visum til at komme tilbage til Caltech. "I sidste ende, vi var glade for at have løst et langvarigt åbent problem i matematik."

Frisch siger, at den store erkendelse, de havde for dette matematiske problem, faktisk voksede fra et tidligere problem, der var meget sværere. "Jeg havde basket mit hoved i et par måneder på det og kunne ikke gøre nogen fremskridt, " han siger, "Men så havde vi denne eureka-idé, der ikke kun gjaldt det, vi arbejdede på dengang, men også for dette nyere problem. Det føles rigtig godt, når man indser, "Åh gud, det her kommer faktisk til at virke.'"

Det Annals of Mathematics study , med titlen, "Choquet-Nægt-grupper og den uendelige konjugationsklasseegenskab, " blev støttet af National Science Foundation og Simons Foundation.