Nye matematiske værktøjer til at studere meningsdynamik

Forskning offentliggjort i SIAM Journal on Applied Mathematics beskriver en ny matematisk model til at studere indflydelse på tværs af sociale netværk. Brug af værktøjer fra topologiområdet, Robert Ghrist og ph.d. kandidat Jakob Hansen udviklede en ramme til at spore, hvordan meninger ændrer sig over tid i en lang række scenarier, herunder dem, hvor individer kan bruge vildledende adfærd, og propagandaagenter kan drive en gruppes konsensus.

Med fremkomsten af ​​sociale medieplatforme, der har været øget interesse for at udvikle forskellige typer modeller til at studere adfærd over netværk; i matematik, det betyder at studere netværk, grupper af individer, kendt som noder, og deres forbindelser til hinanden, kendt som kanter. Den aktuelle udfordring, siger Ghrist, udvikler matematiske rammer, der kan inkorporere en bredere vifte af funktioner for at hjælpe med at modellere mere virkelige scenarier.

"Der er mange mennesker, der udgiver modeller, der har en eller to nye funktioner; den ene giver mulighed for flere meninger, en anden giver folk mulighed for selektivt at lyve for deres naboer, og en anden har introduktionen af ​​en propagandist, " siger han. "Det, vi søgte at gøre, var at komme med en ramme, der kan inkorporere alle disse forskellige aspekter, men stadig være i stand til at bevise strenge teoremer om, hvordan modellen opfører sig."

At gøre dette, Ghrist og Hansen brugte topologiske værktøjer kaldet skiver, tidligere brugt i deres gruppe. Skiver er algebraiske datastrukturer, eller samlinger af vektorrum, der er bundet til et netværk og linker information til individuelle noder eller kanter. Ved at bruge et transportnetværk som et illustrativt eksempel, hvor togstationer er knudepunkter og sporene er kanterne, skiver bruges til at transportere information om netværket, såsom passagerantal eller antallet af rettidige afgange, ikke kun for specifikke stationer, men også på forbindelserne mellem stationer.

"Disse vektorrum kan have forskellige funktioner og dimensioner, og de kan indkode forskellige mængder og typer information, " siger Ghrist. "Så skiven består af samlinger af vektorer over toppen af ​​hver knude og hver kant med matricer, der forbinder dem alle sammen. I fællesskab dette er en stor datastruktur, der flyder over toppen af ​​dit netværk."

Et af de kerne matematiske begreber, der muliggjorde dette arbejde, var inkorporeringen af ​​Laplacian-operatorer og diffusionsdynamik i modellen. Laplacians blev brugt i en klassisk undersøgelse af meningsdynamik, som fandt ud af, at for personer med en skaleret mening om et bestemt emne, såsom deres mening om præsidenten fra 1 til 10, interaktion med deres naboer i netværket ville flytte deres mening mod et lokalt gennemsnit.

"Hvis det var en nøjagtig model, hvad det ville betyde er, at jo mere vi taler til hinanden over sociale medier, jo mere kommer vi alle til at tro det samme, " siger Ghrist. "Det fungerede ikke så godt og fører os til problemet med at forklare spaltning eller polarisering. Så det, vi gør i vores papir, er at bygge denne nye ramme, der kan rumme alle slags interessante drejninger på den klassiske situation."

Ved at inkorporere Laplacians i deres "diskursbarberinger, "Forskerne var i stand til at skabe en meningsdynamikmodel, der var utrolig fleksibel og i stand til at inkorporere en lang række scenarier, parametre, og funktioner. Dette inkluderer evnen til at have agenter, der kan lyve om deres følelser om et bestemt emne eller fortælle andre meninger afhængigt af, hvordan de er forbundet, alt sammen inden for en streng og testbar matematisk ramme.

"Den vigtigste matematiske innovation her er en Laplacian for skiver, der gør det muligt for systemet at udvikle sig på en sådan måde, at man kan bevise resultater om offentlig konsensus. Det, vi ser, når vi kører visse eksempler, er, at man kan have systemer, hvor folk starter med at være naboer. og meget uenige, og systemet udvikler sig naturligt hen imod en offentlig aftale, mens folk kan bevare deres private meninger, " siger Ghrist.

Et andet interessant fund, Ghrist siger, jeg viser, ved hjælp af "co-homologi, " man kan karakterisere, hvornår denne model er både observerbar og kontrollerbar, hvilket betyder, at man kan få et socialt netværk til at udvikle sig til en bestemt mening ved at udpege specifikke agenter som input, dem, der udsender propaganda, og andre som output, dem, der observeres for at spore meningsændringer. "Der er betingelser, hvorunder du kan udpege et sæt målindivider og kontrollere deres meninger ved at så netværket med propaganda og lade systemet udvikle sig, " siger Ghrist, tilføjer, at mens resultaterne vedrører, der er en kløft mellem at bruge disse modeller til at studere netværk og at kontrollere, hvordan ideer spredes i den virkelige verden.

Det næste skridt for Ghrist og hans gruppe er at finde måder at arbejde med mere komplekse skiver, såsom dem med logiske udsagn i stedet for numeriske værdier. "De matematiske udfordringer forbundet med dette er betydelige, og min gruppe og jeg har arbejdet meget hårdt på at forsøge at løfte al matematikken for at inkorporere disse mere komplekse datatyper, " han siger.

Ghrist håber også, at forskere fra en række andre områder, fra økonomi til neurovidenskab, vil finde disse værktøjer nyttige på grund af deres tilpasningsevne og fleksibilitet. "Sheaf teori blev udviklet i 1950'erne, og alligevel er det en af ​​disse ting, der aldrig gik over i anvendt matematik, delvis fordi det er meget abstrakt, " siger han. "Jeg har arbejdet i omkring 15 år på at tilpasse ideer fra skjære- og savteori til en kontekst, som folk kan bruge uden for matematikken, og jeg håber, at dette papir virkelig skubber tingene i den retning."